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  APMEP   L’ESPRIT DES LOIS CONTINUES ou QUELQUES ASPECTS DU CALCUL DES PROBABILITÉS AU LYCÉE

Article du bulletin 456

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Henri Bareil

- 18 novembre 2016 -

par Éric Barbazo, Jean-Marie Bouscasse, Roland Pomès, Jacques et Michel Purjou, Pierre-H. Terracher.

Éd. : Irem d’Aquitaine

Splendide ouvrage de 284 pages en A4 et quadrichromie. Présentation toujours excellente à tous point de vue (clarté, beauté, ...). Un chef d’œuvre ! Bibliographie (Textes officiels ; ouvrages cités ; articles cités). Index (3 pages). Sommaire détaillé ! Prix : 20 euros (port éventuel : 3,48 euros).

ISBN : 2-85665-10-2003.

Encore un livre, joliment référé à Montesquieu, que je regrette de n’avoir pu présenter plus tôt ! Pour la formation des enseignants, il « explore jusque dans leurs recoins certains modèles » et propose « des choix pédagogiques argumentés  » (citation de la Préface).

Tout cela en dialogue constant avec le lecteur et l’humour bien connu des auteurs qui ouvrent par André Gide : « Dans toute aven- ture de ce genre, on se lance dans l’aléatoire », agrémentent le titre du dernier chapitre par Paul Léautaud « Je m’amuse à vieillir... C’est une occupation de tous les instants », nous titillent avec Henri Poincaré  : « On ne peut guère donner une définition satisfaisante de la probabilité », poursuivent avec Émile Borel  : « La première question est de construire un schéma mathématique présentant avec la réalité d’assez étroits rapports » (Hum !), mais nous invitent avec Condorcet « à cultiver cette branche si importante de nos connaissances, et si utile dans la pratique continuelle de la vie » ... (Chimène, qui l’eût dit ? ...).

Humour, relevé dans le contexte, dans les dizaines de citations de matheux, romanciers, poètes (ainsi Éluard  : « Il n’y a pas de modèle pour qui cherche ce qu’il n’a jamais vu »), mais aussi, constamment, dans le texte lui-même. Celui-ci en devient tout sourire ! et souvent savoureux !

Dans sa PRÉFACE (2 pages), Claudine Robert donne le ton de l’ouvrage, signalant « un choix au hasard » « qui permet de pas- ser aux probabilités géométriques chères aux auteurs » et soulignant la somme et la variété des exercices « souvent présentés sous plu- sieurs angles  »... De quoi choisir « selon ses objectifs et ses goûts, et se construire des intuitions justes... ». « De nombreuses situations sont proposées, qui permettent de s’initier tant à la pratique elle-même de la simulation qu’à l’interprétation des résultats obtenus ».

CHAPITRE 1. EXPOSÉ DES MOTIFS
(« Rien n’est moins sûr que l’incertain » – Pierre Dac –)
L’introduction en TS des lois de probabilité continues est une innovation-événement. Il substitue « à un équipage suranné de stats-probas décalé des pratiques réelles de la Statistique et des Probabilités » (Quid de la modélisation  ? de la simulation  ?), « une démarche construite sur une problématique avérée, articulée selon les activités [possibles] », avec « cohérence dans la poursuite des objectifs, de la Seconde à la Terminale » (en attendant – ce que personnellement j’espère ! – « une initiation à l’aléatoire au Collège »).

La suite :
– un joli menu [...] de travail,
– un document d’accompagnement « énergique » et copieux,
– «  quelques troubles sur la place », (sans plus !),
– des «  interrogations qui restent » [...] ... vraies, H. de Balzac dixit : « La clef de toutes les sciences est sans contredit le point d’interrogation... »
[J’ajoute, avec Marc-Alain Ouaknin, pas seulement « des sciences », mais de tout l’humain...].

• Les auteurs pointent ensuite « DES DIFFICULTÉS DE TOUS ORDRES »...
J’en souligne une : «  la rupture préalable explicite et tranchée avec le mode de pensée qui prévaut dans le discret (ainsi [...] pour la densité) ».
« Renonçons à installer les lois continues dans les traces des lois discrètes » !
Cependant, après avoir «  introduit en premier lieu diverses lois uniformes (en dimensions 1 à 3) », puis « mis les élèves en situation de découvrir [...] d’autres lois de probabilité continues, et, partant, le sens de certaines notions qui s’y rattachent [...], il sera noué les liens indispensables avec le point de vue discret, sous “ tous ” ses aspects [...], »

• MODE D’EMPLOI de chaque chapitre (sauf du dernier), détaillé sur deux pages :

  1. Analyse des contenus,
    Enjeux d’un tel enseignement pour les élèves (à lire in extenso !).
  2. Panoplie d’exercices, avec résolution achevée, commentaires et, le cas échéant, outils pour la simulation.

• Les auteurs avouent que, leurs investigations aidant, leur « stricte conformité aux programmes officiels s’en trouve un peu ébranlée, ce qui n’est pas d’une très grande importance » :
– pour le lecteur : « [...] chacun reconnaîtra les siens »,
– « pour nous (les auteurs), puisque le choix a été fait de dépenser notre énergie à mettre en évidence la vitalité de certaines notions probabilistes, souvent désamorcée par le fait de leur simple inscription dans les programmes, plutôt qu’à jouer les comptables scrupuleux d’une adéquation aux mêmes textes ».
[Je ne peux qu’approuver, en espérant communicatif un tel état d’esprit, sinon ce serait à désespérer des « libertés pédagogiques » et des rôles d’une formation !].

CHAPITRE 2. LA LOI UNIFORME
1. Les lois uniformes (au pluriel ? Pourquoi ?) (10 pages) : d’un classique de Renyi, les auteurs déduisent « leur tête de pont » : le rapport (mesure de la zone des issues favorables à un événement)/(mesure de la zone des issues possibles) dûment justi- fié, expliqué, d’emblée illustré par deux exemples « unis par la loi de probabilité, opposés quant à la pertinence didactique ».
2. Les lois uniformes dans la classe (16 pages), avec « des cas de rupture ».
3. Exercices (41 exercices en 45 pages) sur quatre thèmes dont « Loi uniforme sur divers domaines géométriques ».

CHAPITRE 3. LES LOIS CONTINUES
1. Des lois uniformes aux lois continues (8 pages) : ... « densité », premier épisode.
2. Lois continues (10 pages) : ... « densité », deuxième épisode.
3. Exercices (21 en 33 pages), sur quatre thèmes.

CHAPITRE 4. MODÉLISATION
1. Tirages indépendants (7 pages).
2. Problèmes de modélisation (25 pages). « “ Un travail miné ” (air du temps, polysémie, idéologie, ... », ... Études du paradoxe de Bertrand, du choix au hasard de trois réels positifs de somme donnée (cf. aussi le « bâton brisé » et un inédit de triangle acutangle).
3. Exercices (27 en 50 pages), sur trois thèmes, où l’on revient sur les études citées ci-dessus.

CHAPITRE 5. LA LOI EXPONENTIELLE
1. … avec d’autres études que la seule radioactivité... (2 pages explicatives).
2. Généralités (9 pages).
3 et 4. Les points de vue fonctionnel (8 pages) et différentiel (5 pages).
5. Exercices (15 en 15 pages), suivant le déroulement précédent.

MA CONCLUSION :
Un livre généreux autant qu’intelligent, qui sait proposer, expliquer, illustrer, appliquer – avec beaucoup de situations géométriques –, et qui, souvent, émerveille par un accord savoureux entre les idées, le style et la présentation ... À posséder !

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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