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  APMEP   LES ARITHMÉTIQUES ARABES (9e-15e siècles)

Article du bulletin 463

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Brochure n° 506

Henri Bareil

par Mehdi Abdeljaouad

Édition tunisienne diffusée en France par l’APMEP [on notera le pluriel du titre…].
Brochure codiffusée par l’APMEP sous le n° 506

Brochure de 128 pages en 11,5 × 17,5, d’excellente présentation. Une bonne chronologie en deux pages. Bonne bibliographie. Quelques textes (rares) en arabe ( ≈ 4 pages).

ISBN : 7993-52-005-X.

Prix : 7 € (port éventuel réduit à 2 €).

L’auteur est bien connu de l’APMEP. Nous diffusons déjà ses « Éléments de géométrie plane » (deux tomes) et son «  Introduction à l’arithmétique  » (un tome), tous deux fort appréciés.

Cet ouvrage «  présente les diverses conceptions et méthodes arithmétiques utilisées dans les pays arabes et musulmans entre le 9 e et le 15 e siècles » et insiste sur, d’une part, l’importance des apports étrangers et, d’autre part, les développements et les innovations apportées.
Le terme « arabe », à ce propos, « se réfère aux textes écrits en langue arabe », « quelle que soit l’origine ethnique, religieuse ou raciale » de leurs auteurs.
Ce préambule donne déjà une idée de l’esprit du livre, aussi peu chauvin que possible, très documenté, et d’un style, plus qu’agréable, utilisant des notations modernes.

Chapitre 1 : Panorama des « manuels arabes d’arithmétique » (22 pages).
L’arithmétique théorique, pratique, sexagésimale, digitale, indienne (12 pages). Vers l’an mille, al-Baghdadi sait ainsi sommer 1 + 2 + … + n ; $1^2 + 2^2 + … + n^2$ ; $1^3 + 2^3 + … + n^3$ ; … et des sommes analogues tandis que, vers 1300, Ibn-al-Banna énonce dix-huit identités remarquables qui vont au-delà de notre collège… À noter un encadré de deux pages sur « Les Éléments d’Euclide ».

Chapitre 2 : « Les numérations arabes » (20 pages), (digitale, alphabétique, …) dont 10 pages sur la « numération indienne », avec ses deux familles de chiffres…

Chapitre 3 : « Les opérations » (18 pages), en ignorant les nombres négatifs, à l’opposé des prédécesseurs indiens … mais en appliquant éventuellement le transfert d’une division vers une multiplication par l’inverse, et en insistant sur la « restauration » et la « réduction » (i.e. : compléter, avec a et b numériquement connus, a × $\Box$ = b).

Chapitre 4 : « Les fractions arabes » (12 pages), avec des originalités de représentation au Mahgreb.

Chapitre 5 : « L’invention des décimaux » (10 pages), des alentours de l’an 950 aux mises en ordre d’Al Kashi (1427), soit un siècle et demi avant Stevin « sans lien direct entre eux ».

Chapitre 6 : « Un héritage enrichi par les mathématiciens arabes » (16 pages).
Déjà un (« maladroit ») énoncé du théorème fondamental de l’algèbre (vers 1300), des approfondissements sur les nombres amiables, sur les nombres congrus  [1] (dès le 10e siècle), … À propos des triplets pythagoriciens, Euclide ayant produit une condition suffisante, al-Khazin, au 10e siècle, démontre une condition nécessaire, retrouvée ensuite, au 17e siècle, par Bachet de Meziriac.
Apparaissent aussi les premiers travaux d’analyse combinatoire.

Chapitre 7 : « La résolution des problèmes » (14 pages), « concrets » et « pseudo- concrets ».
Cinq techniques dont une « méthode des deux erreurs » ou «  des plateaux » présentée et justifiée (géométriquement) vers l’an 900. La voici sur un exemple :
Trouver un nombre tel qu’en lui ôtant son tiers et son quart il reste 10.
Premier essai, avec 12 par exemple, il reste 5.
Deuxième essai, avec 48 par exemple, il reste 20.
Dès lors on procède comme avec notre « croix des mélanges » de naguère :
et on « mélange » 12 × 10 « et » 48 × 5. Leur somme est 360. Il reste à diviser 360 par la somme 15 des deux multiplicateurs…
[Génial, n’est-ce pas ? … sans « valoir » le calcul algébrique…].
Suivent une dizaine de problèmes résolus, fort variés.
Essayez le sixième : « L’oie coûte trois dirhams, la poule deux et le tourtereau un huitième de dirham. Quarante têtes de ces volailles ont coûté quarante dirhams.
Combien de chaque sorte ? ».
On lira avec intérêt la réflexion initiale … et on retrouvera la méthode des plateaux…
Excellent ! L’auteur conclut en évoquant des « pépites dispersées… » recueillies par les arabes, richement serties par eux et léguées à des successeurs européens qui … « leur ont fait atteindre les sommets actuels ». MA CONCLUSION  : Un beau livre, très prenant, de lecture à la fois dense et claire, à mettre dans tous les collèges à plusieurs exemplaires… !

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] Un entier naturel a est congru si le système

$$\left\{ \begin{array}{l} x^2 + a = \Box \\ x^2-a = \diamondsuit \end{array} \right.$$

admet des solutions entières ou rationnelles, les $\Box$ et $\diamondsuit$ étant des carrés de rationnels.
Ainsi 24 est congru : avec x = 5, on a 52 + 24 = 72 et 52 − 24 = 12. De même 240 : avec x = 17,
on a $17^2 + 240 = 23^2$ et $17^2 − 240 = 7^2$. Tandis que, pour 5, $\left(\frac{41}{12}\right)^2+5= \left(\frac{49}{12}\right)^2$ et $\left(\frac{41}{12}\right)^2-5= \left(\frac{31}{12} \right)^2$.


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