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  APMEP   LES INATTENDUS MATHÉMATIQUES

Article du bulletin 456

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Casse-tête, Art, Paradoxes, Superstitions

Henri Bareil

de Jean-Paul DELAHAYE

Éd. : BELIN, Pour la Science. Brochure co-diffusée par l’APMEP

256 pages en 18,6 × 24,5, joliment illustrées avec encarts couleurs, en une excellente présentation très claire. Très riche bibliographie référée aux chapitres.

ISSN : 0224-5159.

Prix : 21 euros. Ouvrage disponible à l’APMEP à 20 euros (et, exceptionnellement, port éventuel réduit à 2 euros).

Cinq parties, indépendantes, qui rassemblent des sous-chapitres numérotés par ailleurs.

• L’ART ET LES MATHÉMATIQUES (50 pages) :

1. Écritures sous contraintes : contrepèteries, lipogrammes (interdiction d’emploi d’une ou plusieurs lettres), pangrammes (l’inverse !), acrostiches, palindromes, interversions, combinaisons, carrés magiques, ..., le tout décrit et illustré d’une plume alerte, avec de beaux poèmes aussi (éventuellement aimablement coquins) : l’un des sommets Raymond Queneau des « cent mille milliards de poèmes » (à partir de 14 vers), « La vie au vol », un canon de Bach, des vers de Villon, Corneille, d’Alfred de Musset et George Sand (pour une amoureuse rencontre) de G. Perec, d’un anonyme fort en verve, ...

2. Des nombres à la lettre  : où l’on retrouve lipogrammes, liponombres, ...

3. Le beau doit-il être complexe ? avec des échanges de théâtre devant un tableau blanc, des Brancusi, Morellet, Birkhoff et Bennett, ... et des références à la complexité de Kolmogorov d’un objet (c’est la taille du plus petit programme d’ordinateur qui le spécifie complètement) ... avec dissociations entre cette complexité et la beauté.

4. L’eaurdinateur ...  : un panorama de clepsydres, siphons, réalisations de B. Gitton, ...

• LES DÉCOUPAGES GÉOMÉTRIQUES (42 pages) :

5. Le rangement de la boîte de cubes : ... de la « vieille boîte » à Conway, aux pentacubes, aux Soma, etc.

6. Les découpages artistiques  : à propos du croissant de lune, de « Pythagore », du découpage du dodécagone au carré en n’utilisant que huit pièces, des lunules, du paradoxe de Banach-Tarski (une sphère pleine est « décomposée » en deux autres, de même taille que la première et aussi « pleines »), des polyèdres équivalents, de découpages avec charnières ou articulés, ...

7. Découpages articulés : « Peut-on toujours passer d’un polygone quelconque à un autre de même aire par un découpage articulé ? », ..., pavages et frises, ...

8. La mise en pièces d’un carré  : ... « énigmes anciennes et nouvelles », découpages « pythagoriciens », partitions variées, ... LES MATHÉMATIQUES DANS LA SOCIÉTÉ (60 pages)

9. La numérologie du nombre d’or  : des solides de Platon au corps humain, à la nature, à l’art, à Fibonacci ... avec un allègre esprit critique !

10. Numérologie et coïncidences : ... « De la déraisonnable efficacité des maths ... » aux coïncidences bien ajustées (sur 666, π , 1/7, 1/19, ...).

11. Notre vision du hasard est bien hasardeuse  : ... « loi des séries », « effet râteau », paradoxe des anniversaires, ...

12. Le dilemme du renvoi d’ascenseur  : « métacoopération », tournois spécieux, ...

13. Pourquoi calculons-nous si difficilement ? ... « Effet Snarc », etc.

• ERREURS ET PARADOXES (48 pages)

14. Ce qui est faux ... peut être utile : des erreurs « classiques » de Ramanujan, Rademaker, Cauchy, Poincaré, Euler, ..., aux conséquences parfois heureuses...

15. Le jeu des erreurs séduisantes :
• Des classiques ... « pour enfants » ( ?) : « Une horloge sonne 6 heures en 5 secondes. Combien de temps lui faut-il pour sonner midi ? » [ce n’est pas 10 secondes] ; « le bouchon et la bouteille », l’ascension par étapes montée-descente, les trains qui se croisent, ...
• Texte publicitaire : « fonctionner 50 % plus vite fait gagner 50 % sur le temps » (analysé).
• « 1 est le plus grand entier » (« démontré »).
• « 7 = 13 » issu, après des calculs endormeurs, de $\frac{a}{7-x}=\frac{a}{13-x}$ .
• « Trois fois rien » ... dont je livre la « démonstration », succulente (ici abrégée) : « $1 + 2 + 3 + ... + ({n} − 1) = \frac{n(n-1)}{2}$
D’où $1 + 2 + 3 + ... + ({n} − 1) + 1 = \frac{n(n-1)}{2} + 1$,
soit $1 + 2 + 3 + ... + {n} = \frac{n(n-1)}{2} + 1$ [ en réduisant (n − 1) + 1 = n].
D’où $\frac{n(n+1)}{2}= \frac{n(n-1)}{2}+ 1$,
ce qui, après calculs, donne n = 1 ». [Démystification ici indiquée plus bas].
• Et, de $− 1 = \sqrt{-1}\sqrt-1$(en « acceptant » $sqrt{-1}$ ), ... découle 1 = − 1.
• Une jolie récurrence d’Alex Kuperman pour « démontrer » que « toutes les fonctions $x^n$ sont constantes ».
• Toute série converge vers $\pi$ !
• Cependant qu’en dérivant $x^3$ de deux façons différentes, il advient 2 = 3 !
• « Bien sûr », ln 2 = 0 !
• Toutes les « démonstrations » sont démystifiées. Excellent pour nous mettre en garde ! Voici celle promise plus haut :
« Il n’est pas exact que 1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) + 1 = 1 + 2 + 3 + ... + n, car l’avant-dernier terme (non écrit) à gauche est (n − 2) alors qu’à droite c’est (n − 1). Les « ... » selon le contexte ne désignent pas la même chose. » À méditer !

16. L’enfer des paris : garçons, filles, paris groupés (un pari groupé de cas favorables peut m’être défavorable !), ...

17. L’union fait la faiblesse : où, à partir des paris, on met en jeu ou on rejette « l’axiome du choix » : paradoxes de Levin, de Patarin, de Monnier ; matrices qui rendent fous les comptables ; ...

• JEUX ET CASSE-TÊTE (47 pages).

18. L’agent secret joue aux cartes. Système cryptographique, « Solitaire » de Schneier, avec 52 cartes. Merveilleux !

19. Nombres amiables et suites aliquotes.
(Les diviseurs d’un nombre à l’exclusion de lui-même sont ses parties aliquotes. Deux nombres amiables sont tels que chacun d’eux est la somme des parties aliquotes de l’autre, ainsi 220 et 284. Un nombre parfait est la somme de ses parties aliquotes, ainsi 6). Ce chapitre fourmille de beaux résultats (« le quarantième nombre parfait est arrivé », ...), de conjectures encore non démontrées (de Catalan, ...).

20. Un jeu à épisodes pour l’été. Les jeux « Ping » et « Pong », ... : de quoi faire de l’arithmétique !

21. Les nombres infinis vers la gauche.
« Additionnez les puissances successives de 2 (à partir de $2^0$ ) en décalant d’un chiffre vers la gauche à chaque ligne » (conseil : allez jusque $2^20$ ). Vous trouverez l’écriture décimale périodique de 1/19. Pourquoi ? » J.-P. Delahaye répond, puis propose d’autres belles coïncidences. Ce qui ouvre sur les « nombres décadiques » (une infinité de chiffres AVANT la virgule, un nombre fini après. Exemple : « ...13131313,32 ») et les opérations sur ces nombres. Où l’on revisite la série géométrique (...9999 est « démontré » égal à -1), où l’on découvre que les décadiques ne connaissent pas les caractères « positif », « négatif », l’opposé de 9 étant, par exemple, « ...999 999 991 ». « Il existe une théorie mathématique qui donne sens à ces nombres... » ... « qui ne supportent pas les changements de base ». J.-P. Delahaye en étudie la multiplication, la division, explore leur univers... J’aimerais pouvoir tout citer !

• MA CONCLUSION.

Un livre de grande culture extrêmement plaisant. Un livre passionnant, éminente source de réflexion pour tout enseignant et de travaux de tous ordres de la Sixième aux T.S. Courez vite l’acheter ! Ni vous, ni vos élèves ne le regretteront !

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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