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  APMEP   LES PROMENADES D’ELTON et autres distractions mathématiques… PROBLÈMES DU PETIT VERT. Tome 1 : 40 problèmes 1985-1995

Article du bulletin 457

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Henri Bareil

- 24 novembre 2016 -

Éditeur : APMEP, Régionale de Lorraine.

122 pages en A4. Bonne présentation.

ISBN : 2-906476-07-2. Prix : 7 € (+ 3 € de port éventuel).

Commandes à : APMEP C/O Roger CARDOT, 5 rue de Saffais, 54360 BARBONVILLE.

Chèque à l’ordre de APMEP Régionale de Lorraine.

Le « Petit Vert » est le Bulletin – trimestriel – excellent, à mon sens, de la Régionale APMEP de Lorraine.

Sous faible volume, il se révèle un heureux lien entre Lorrains tout en proposant de bons articles et, chaque trimestre, un problème.

D’où la brochure actuelle et un futur Tome 2 couvrant 1995-2005.

Très variés, ces problèmes sont, en général, accessibles par des moyens élémentaires … et une solide réflexion.

Les solutions reçues par la revue s’ajoutent à celle(s) de l’auteur du problème, ce qui fait de beaux panoramas de méthodes.

Le fait de donner le plus grand nombre de solutions possibles est d’ailleurs parfois l’objectif assigné, ainsi pour un problème de parallélogrammes et d’aires (n°21) : huit solutions ont été reçues dans les deux mois…, toutes intéressantes, parfois très.

Voici ce problème 21 :
ABCD parallélogramme d’aire $s$.
E et F milieux respectifs de [DC] et [BC].
D’où I.
Donner l’aire du triangle AIF en fonction de $s$.

… et voici le principe d’une très intéressante solution (de Jacques Verdier) utilisant une méthode trop peu connue consistant à se ramener à ABCD carré grâce à la propriété de conservation des rapports d’aires dans la transformation affine correspondante. Voilà qui réhabilite les cas particuliers !

Cette méthode-là mérite qu’on s’y attarde au lycée. Cependant que plusieurs résolutions du problème sont du niveau Collège…

Autre exemple de problème : une substitution d’intervenant qui change du tout au tout le niveau !

Problème 11.1.
Tout le monde connaît l’exercice suivant :
Soit, dans un plan, une droite Δ, deux points A et B d’un même côté de Δ. Où placer M sur Δ pour que MA + MB soit minimale ?

C’est un joli exercice avec la symétrie par rapport à Δ.

Mais que faire en remplaçant Δ par un cercle Γ, A et B étant tous deux extérieurs à Γ ? (avec A et B tous les deux intérieurs, c’est le problème du billard circulaire).

Trois solutions sont données :
– par une inversion, qui fait utiliser une hyperbole équilatère,
– par la trigonométrie,
– par les complexes et une résolution graphique.

De même pour le n°34 qui généralise le « classique » (naguère au Collège !) : « Soit un triangle équilatéral ABC, M sur le petit arc $\stackrel {\frown} {BC}$ .
Dès lors MA = MB + MC. », en remplaçant ABC par un polygone régulier de $2n + 1$ côtés…

Notons, ici aussi, une intéressante méthode de résolution (d’André Viricel). Elle fait raisonner, de façon paradigmatique (de portée générale), sur un heptagone…

Rassurez-vous : il n’y a pas que des problèmes de géométrie ! (Et il reste même au moins un problème « ouvert »… !).

Les autres ont les mêmes vertus d’approches très variées … souvent passionnantes … avec la mise en évidence de belles méthodes.

Voilà donc une nouvelle excellente publication de la Régionale de Lorraine !

À vos chéquiers !

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)
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