Accueil » Publications » Le Bulletin Vert » Spécial journées » La construction des objets mathématiques.
  APMEP   La construction des objets mathématiques.

Article du bulletin 483

Analyse philosophique

- 9 mars 2016 -

Guy Wallet

Résumé de l’article

L’auteur est un mathématicien et ne se prétend pas philosophe. Il parle donc de l’intérieur de l’édifice. D’abord, il s’interroge sur l’objectivité en mathématique, qui est d’une tout autre nature que celle attribuée aux objets concrets, puisqu’une propriété mathématique est irréfutable. C’est une super-objectivité dure et intangible. Néanmoins les objets mathématiques ont le même statut que ceux des autres sciences : Toute recherche interne au champ des mathématiques d’une objectivité inattaquable justifiant la certitude absolue attachée à cette science est vouée à l’échec. Plutôt que de se demander ce qui existe dans un absolu essentiellement indécidable, il est plus intéressant de s’interroger sur ce que telle ou telle démarche théorique présuppose comme existence d’entités spécifiques. Ensuite, l’auteur s’interroge sur l’expérimentation mathématique. Une expérience ne porte pas exactement et seulement sur une proposition isolée. Pour reprendre une formule de Quine, c’est l’ensemble de notre système de connaissance qui se présente en bloc devant le tribunal de l’expérience. En conclusion, tous les objets de la science partagent le statut de choses posées dans le cadre d’une théorie qui structure notre vision du monde. L’objectivité n’existe que du point de vue interne à une telle théorie, et, de fait, elle comporte une composante mathématique. Les nombres, les fonctions, les groupes, et les espaces topologiques existent comme les atomes, les quarks, les hadrons et autres gluons, parce que nous les postulons et les utilisons comme ingrédients indispensables à notre théorie globale du monde physique. De ce fait, ils sont parfaitement objectifs et n’avons nul besoin de leur intenter une forme d’objectivité particulière.

Introduction

Le but de cet exposé est de présenter un point de vue à propos des objets mathématiques, sur leur nature et leur construction. En rupture avec les idées courantes sur les mathématiques, ce point de vue apporte une lumière nouvelle sur quelques vieilles questions. Il s’agit d’un travail de nature philosophique mais qui est porté, repris à son compte par moi-même qui suis avant tout un mathématicien. En aucun cas je ne prétends être un philosophe, avec tout ce que cela suppose comme culture et pratique d’une discipline dotée, comme les mathématiques, d’une longue et riche histoire. Pour tout dire, mon métier et ma grande occupation actuelle sont avant tout la recherche et l’enseignement des mathématiques dans lesquels je suis encore très investi.

C’est donc de l’intérieur de l’édifice des mathématiques que je parle, ce qui d’une certaine manière est un avantage. Néanmoins, il est clair que le statut de mathématicien ne suffit absolument pas pour accéder à une analyse philosophique et critique des mathématiques qui soit quelque peu consistante. Il suffit de fréquenter les départements de mathématiques universitaires pour savoir que, lorsqu’ils cessent de faire les choses sérieuses pour lesquelles ils sont rémunérés, les mathématiciens comme tous les hommes ne sont pas avares de banalités et de lieux communs, même et surtout quant ils prétendent philosopher sur leur discipline.

De fait, les sources principales de mon travail sont doubles : à ma propre pratique et sensibilité de mathématicien se rajoute la lecture de deux philosophes contemporains qui nourrissent mes réflexions depuis de nombreuses années : L. Wittgenstein [5, 6] d’une part et W.V.O. Quine [1, 2] d’autre part. Le premier a développé une forme d’interrogation philosophique sans système et sans thèse profondément originale et déstabilisante, le second a bouleversé la philosophie des sciences du 20 e siècle par ses thèses sur l’indétermination de traduction, la sous- détermination de la théorie par l’expérience, la relativité de l’ontologie et le holisme épistémologique. Bien que dans la forme comme dans le fond, les travaux de ces deux penseurs peuvent sembler relativement opposés, j’y ai trouvé au contraire une certaine complémentarité.

Ce travail reprend en partie les arguments que j’avais développés dans des travaux précédents, en particulier Réflexions sur l’objectivité en mathématiques [3] et Signification et démonstration [4]. Néanmoins, il comporte des développements nouveaux motivés par la volonté d’apporter une réponse plus satisfaisante et moins dogmatique au problème posé par le caractère étrange du lien que la mathématique rentretient avec la réalité. La composante nouvelle consiste à rompre le splendide isolement dans lequel nous avons trop tendance à penser cette discipline. Au contraire, je souhaite montrer tout l’intérêt qu’il y a à arrimer fermement les mathématiques à l’ensemble de notre appareil scientifique, sans pour cela en gommer la spécificité. Les arguments développés dans les parties 1, 2 et 4 ont déjà été présentés lors d’une rencontre à la mémoire de J. Harthong à Strasbourg en 2003.

Plan de l’article

  • Introduction
  • Une expérience sur l’objectivité en mathématiques
  • Le statut commun des objets de la science
  • Quels sont les objets légitimes d’une théorie ?
  • Retour sur l’expérimentation en mathématiques
  • Conclusion
  • Références

Télécharger l’article en pdf dans son intégralité

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
 Accueil   Plan du site   Haut de la page   Page précédente