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  APMEP   La fausse position

Article du bulletin 503

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ou comment, longtemps avant l’algèbre, on a posé le faux pour connaître le vrai, des Pharaons aux temps modernes..

Paul Louis Hennequin

- 24 mars 2013 -

par Jérôme Gavin et Alain Schärlig.

Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, décembre 2012,

222 p. en 16x 24.

ISBN. 978-2-88074-984-2.

La fausse position est une méthode de résolution de problèmes du premier degré qui remonte à l’antiquité et qui s’est montrée efficace jusqu’à la diffusion et la popularisation de l’algèbre au début du 17e siècle.

En termes contemporains, il s’agit de résoudre une équation $f(x) = 0$ ou un système de deux équations $f(x,y) = 0$, $g(x,y) = 0$ où f et g sont des fonctions affines, en partant d’un nombre $x_0$ ou d’un couple $(x_0,y_0)$, appelé fausse position. C’est le principe de base d’une méthode itérative d’approximations successives, comme par exemple la méthode de Newton si les valeurs de départ sont assez proches des valeurs recherchées, mais dans le cas affine cela donne la solution exacte en une itération. On peut aussi interpréter le problème comme la recherche du point d’intersection de deux droites et trouver la solution par une construction géométrique.

Dans une mise en bouche sur l’épitaphe attribuée à Diophante, l’auteur précise son projet de situer la fausse position à la fois dans le monde et dans l’histoire en montrant comment on peut la légitimer par le formalisme algébrique contemporain.

La première partie, De nos jours, se limite à un seul chapitre où le vocabulaire et la classification des méthodes sont précisés et où sont traités deux exemples, l’un de calcul d’âges, l’autre d’achats de foulards en soie et en coton.

La deuxième partie, Au cours des siècles, détaille l’histoire de la méthode, de l’antiquité au début du 17° siècle.

  • L’ Égypte ancienne : vers –1550 : le papyrus Rhind, la numération, un exemple de calcul. Babylone avant –1600. : un procédé pour calculer la surface de deux champs à partir de leur rapport.
  • La Chine : les neuf chapitres, la rencontre d’une coucourde et d’un melon grimpant le long d’un mur.
  • L’Inde : addition de quatre fractions.
  • Les grecs tardifs du 3e au 5e : deux épigrammes, l’une sur les pommes d’Amour, l’autre sur l’âge de Diophante, déjà traitée dans l’introduction.
  • Alcuin, 785, et ses propositions pour exercer les jeunes dont un problème de dénombrement de cigognes.
  • Le monde arabo-musulman du 12° : les deux plateaux, le recours à l’algèbre, une démonstration géométrique.
  • Léonard de Pise (Fibonacci), 1202, une pierre blanche pour la fausse position ; deux procédés  : l’analyse et la formule
  • Le maître d’Ombrie, vers 1250 : des problèmes rangés en fonction du genre d’histoire sur le poids d’une coupe, sur un achat de poivre et de safran, sur une répartition de deniers.
  • Deux Byzantins des 14° et 15° : 100 problèmes en désordre.
  • Deux Français, Barthélemy de Romans, 1471, Nicolas Chuquet, 1484.
  • Luca Pacioli, 1494, trois équations à trois inconnues.
  • Trois allemands : fausse position et signes + et -.
  • Gemma Frisius, 1540, problèmes à deux ou trois inconnues.
  • Robert Recorde, 1552, un texte qui utilise à la fois chiffres romains et chiffres arabes.
  • Clavius, 1583.
  • Von Graffenried, 1619, calculs en croix.
  • La troisième partie, À l’aube des temps modernes, raconte l’apothéose, puis, dans la seconde moitié du seizième siècle, la fin de la fausse position au profit de l’algèbre.

Une bibliographie d’une centaine de titres rassemble à la fois des éditions originales, des traités d’arithmétique ou de pratique commerciale, des rééditions et traductions contemporaines et des ouvrages de recherche historique.

Un index liste plus de 200 noms propres rencontrés le long de la lecture. Les auteurs n’hésitent d’ailleurs pas à donner des citations originales en égyptien, babylonien, chinois, grec, latin, arabe, allemand, anglais, à les reproduire photographiquement et à les traduire, mais trop rares à mes yeux sont les portraits qui agrémentent le texte ; sans doute n’en existe-t-il plus d’authentiques. Je regrette aussi que les constructions géométriques et le barycentre ne tiennent pas plus de place.

Cet excellent ouvrage qui se veut exhaustif et suit un parcours chronologique comporte fatalement quelques répétitions, mais il intéressera à la fois le lecteur à la recherche d’énoncés curieux ou surannés dans un style qui n’est pas sans rappeler l’école primaire d’avant 1968, le professeur de mathématiques de collège ou de lycée pour en extraire des exemples empruntés à la vie courante et des exercices d’algèbre, mais aussi le professeur d’histoire pour analyser la part des mathématiques dans notre culture, notre commerce et notre vie sociale.

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