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  APMEP   La logique pas à pas.

Article du bulletin 517

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Marc Roux

- 1er mars 2016 -

par Jacques Duparc Presses polytechniques et universitaires romandes, 2015

576 pages en 17x 24. Prix : 57 €.

ISBN : 978-2-88915-126-4. Contrairement à ce que pourrait suggérer la mention « spécialement conçu pour les buses en maths et les manchots de la logique », ce gros livre n’a rien d’un ouvrage de vulgarisation à la portée de tous. Il s’agit du cours que l’auteur dispense à l’Université de Lausanne, au niveau Bachelor (nom de la licence en Suisse). Il est quasiment exhaustif, n’omettant que les démonstrations des théorèmes les plus difficiles (de Gödel par exemple), non sans indiquer une ressource bibliographique où on les trouvera.
Le Préambule apporte déjà du vocabulaire : « langage », « formule », « syntaxe », « sémantique », ...
L’Introduction est, notamment, historique : on y croise aussi bien Aristote que Russell, en passant par Leibniz, Boole, Cantor, mais aussi les Marx Brothers et les patatoïdes.
La Partie I : Calcul Propositionnel est divisée en trois chapitres : Syntaxe, Sémantique, Théorie de la démonstration. Le lecteur « moyen » du BV y trouvera des choses qu’il connaît, mais sous une forme relativement originale : les formules sont présentées sous formes d’arbres, où chaque nœud est un connecteur ; on ne les linéarise qu’ensuite ; les valeurs de vérité sont attribuées grâce à des jeux d’évaluation. Mais plus d’un y découvrira des aspects inconnus. Ainsi j’avoue que j’ignorais les différences entre les Systèmes axiomatiques, la Déduction naturelle et le Calcul des séquents, que je n’avais qu’une idée vague de celles entre les logiques minimale, intuitionniste et classique.
La Partie II : Logique modale nous ouvre les portes d’un monde étranger aux mathématiques, où dans les formules on rencontre, outre les connecteurs, des opérateurs de modalité, qui selon les modèles seront interprétés comme Certain/Possible, Obligatoire/Autorisé, ou encore l’individu i sait que/croit que, ... Ici aussi arbres et jeux d’évaluation sont les outils favoris. Cinq chapitres  : Syntaxe, Sémantique, Systèmes logiques, Logiques aléthique, déontique, épistémiques, temporelles, etc., un soupçon de logique modale quantifiée.
Avec la Partie III : Logique du premier ordre nous retrouvons un terrain mieux connu, où aux notions de la partie I on adjoint les quantificateurs. On apprend qu’il existe une traduction de la logique modale en logique du premier ordre : c’est le titre du chapitre 12 ; les autres étant intitulés Préambule, Syntaxe, Sémantique, Théorie de la démonstration.
La Partie IV : Récursivité, 2d ordre et Correspondance Preuves-Programmes assure la connexion de la logique avec, d’une part, la théorie des ensembles, d’autre part, l’informatique ; il y est question de décidabilité, des théorèmes d’incomplétude de Gödel, de λ-calcul.
Enfin la Partie V : Annexes se réduit à un chapitre : Une preuve du théorème de compacité par ultraproduit.

Chaque sous-chapitre débute par un Résumé, et se termine par « Pour aller plus avant » : renvois à l’abondante Bibliographie qui clôt l’ouvrage, avant trois Index : des symboles, des noms propres, général.

Je regrette que ce manuel ne contienne pas d’exercices ; mais son volume est déjà imposant. Peut-être peut-on espérer un recueil de problèmes corrigés ? Sur le plan de la forme, on note quelques fautes d’orthographe ou coquilles (de plus en plus fréquentes vers la fin : fatigue ?), dont au moins deux peuvent gêner la compréhension  : page 498 un signe « – » omis (dans le premier exemple), page 520 des parenthèses mal placées (dans l’axiome 3).

Sur le fond, un point reste un peu flou (à mon avis de non-spécialiste) : l’articulation de la logique avec la théorie des ensembles, qui intervient un peu partout, et avec l’axiome du choix en particulier : l’auteur utilise celui-ci avant de l’avoir énoncé, et le place dans l’axiomatique de Zermelo-Fraenkel, alors qu’il est d’usage de distinguer les axiomatiques ZF et ZFC.

L’auteur prend en compte le fait que les étudiants concernés ne sont pas des mathématiciens et sont issus de disciplines diverses : philosophie, psychologie, sociologie, management, sciences criminelles, théologie ; il s’efforce de donner à chaque notion un sens intuitif, par des commentaires détaillés, et souvent des notes d’humour ; il s’aide de nombreuses figures en couleurs ; la construction semblable de chacune des parties facilite l’assimilation. Néanmoins la profusion de notations et symboles nouveaux, souvent proches les uns des autres, et la subtilité des concepts étudiés, ne rendent pas cette lecture des plus aisées. Mais ces difficultés sont surmontables, et sont le prix d’un sentiment d’éclaircissement, de progrès intellectuel individuel.

C’est dire que je recommande la lecture attentive de cet ouvrage à quiconque est attaché à la construction rationnelle de la pensée, et en particulier aux enseignants et futurs enseignants de mathématiques.

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