par Jean-Paul Delahaye

Belin pour la science, avril 2012
200 p. en 18,5 × 24,5, prix : 27 €, ISBN 978 2 84245 115 8

Comme la plupart des volumes de cette collection, ce livre regroupe, remet en forme et actualise une vingtaine d’ articles de la revue Pour la science. Le thème fédérateur de celui-ci est la logique, dont le statut, en une centaine d’années, est passé d’une branche de la philosophie à un chapitre incontournable des mathématiques.

L’ouvrage comporte six chapitres prenant en compte les divers aspects de la logique.

Chaque chapitre est lui même découpé en trois ou quatre rubriques correspondant à un article de Pour la science.

• 1) La logique de l’infini
  • Imaginer l’infini ou le découvrir ?
    Hypothèse du continu, extensibilité de l’axiomatisation ZFC.
  • L’ensemble de tous les ensembles
    Paradoxes ensemblistes, hyperensembles.
• 2) L’incomplétude et les limites logiques
  • L’incomplétude, le hasard et la physique
    Théorème d’incomplétude de Gödel et généralisation de L. Levin.
  • Presque tout est indécidable
    La complexité cause de l’indécidabilité, les suites tirées au hasard sont indécidables.
• 3) La logique du désordre et des probabilités
  • L’étonnante loi de Benford
    Invariances et mélanges, Fraudes et interrogations.
  • Le désordre total n’existe pas
    Conjectures d’Erdös, Ramsey et les extraterrestres, ordre et complexités.
  • Pierre, feuille, ciseaux
    Jeux sur des graphes, dynamique de populations, temps de convergence.
  • La Belle au bois dormant, la fin du monde et les extraterrestres
    Effets de filtre et de loupe.
• 4) Logique de graphes et de nombres
  • une propriété cachée des graphes
    Graphes planaires et théorème des mineurs.
  • Graphes et algorithmes pour ballons
    Polyèdres réguliers, semi-réguliers ou convexes et assemblages de ballons tordus ou noués.
  • un terrain de course numérique
    Courses de nombres premiers et conjecture de Riemann.
• 5) Logique sociale, économique et humaine
  • La répartition idéale des biens existe-telle ?
    Le partage des richesses, Salomon, allocations optimales, échanges multiples et modèles mlulti-agents.
  • Escroquerie ou jeu risqué ?
    Affaire Madox et pyramides de Ponzi.
  • L’éducation réussie d’un surdoué
    Terence Tao, progressions arithmétiques de nombres premiers, aiguille de Kakeya, ensembles magiques et supermagiques.
• 6) La logique rencontre la physique
  • Concevoir l’univers comme un ordinateur
    Automates cellulaires, singes programmeurs, mort thermique.
  • Libre arbitre et mécanique quantique
    Axiomes SPIN, TWIN, MIN et théorème du libre arbitre.
  • Suicide et immortalité quantiques
    La théorie des mondes multiples de Hugh Everett, devenir riche et résoudre tous les problèmes NP, …
  • quand la physique démontre des théorèmes mathématiques
    Pythagore, moyennes, aire entre les deux courbes décrites par les roues d’une bicyclette, centres de gravité d’un demi-cercle et d’un demi-disque, qu’est-ce qu’une démonstration ?

On réalise toute la richesse de ce volume qui peut se savourer tranche par tranche ou permettre de retrouver une définition ou un théorème ou encore, grâce à l’informatique, de fréquenter avec des élèves de curieux objets mathématiques.