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  APMEP   La notion de Q-analogues

Article du bulletin 480

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Choulet Richard

Résumé de l’article

Partant de l’idée d’introduire des paramètres dans des développements en séries de "fonctions ordinaires" et d’en étudier la convergence, l’auteur définit pour q réel distinct de 1 la fonction q-analogue de la fonction f, toute fonction fq de R ou C dans C telle que la fonction limite de fq pour q tendant vers 1 soit la fonction f. Il définit ensuite la q-dérivation à laquelle s’adaptent les formules habituelles de la dérivation. Puis viennent les cas des fonctions de bases (polynômes, fractions rationnelles, racine carrée), les équations q-différentielles et, de la q-dérivation on passe à la q-primitivation, et enfin à la q-analogue de l’exponentielle. Beaucoup de prolongements sont possibles et permettent d’envisager par exemple les problèmes d’irrationalité ou de Q-indépendance linéaire qui mettent en oeuvre des mathématiques de haut niveau.

Plan de l’article

  • Introduction
  • I. Où l’on parle de q-dérivation
  • II. Quelques équations q-différentielles
  • III. Où il y a dérivation, la primitivation n’est pas loin !
  • IV. Analogues de l’exponentielle
  • V. Conclusion
  • VI. Bibliographie

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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