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  APMEP   La récurrence au fil des siècles

Article du bulletin 506

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Legrand Pierre

- 21 décembre 2015 -

Résumé de l’article

La récurrence, entrevue dès l’Antiquité, n’a vu son mécanisme mis à jour qu’au bout de deux millénaires. Si elle apparaît de façon informelle dans les éléments d’Euclide et chez Archimède, les véritables pères fondateurs sont Pascal et, pour la descente infinie, Fermat. Récurrence et descente ne seront cependant reconnues comme des outils essentiels qu’au XIXe siècle.
La première tentative de construction par récurrence de l’ensemble des nombres entiers, en 1888, est de Dedekind. Elle est suivie en 1889 par les "Arithmetices principia" de Peano. Mais la solidité de ces constructions a fait depuis l’objet de multiples controverses.
Dans l’enseignement secondaire, l’auteur estime qu’il faut considérer les entiers naturels comme une donnée première, et la récurrence (qui, selon Poincaré est "le raisonnement mathématique par excellence") comme allant de soi.

Plan de l’article

  • Introduction
  • A. De –300 à 1888
    • Le précurseur : Euclide
    • Les pères fondateurs : Pascal et Fermat
    • Les successeurs
    • La naissance de l’axiomatisation
  • B. Construire $\mathbb N$ par récurrence
    • 1888. Dedekind
    • 1889. Peano
    • Les controverses
  • Conclusion
  • Post-scriptum
  • Sitographie

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Lire l’article La récurrence à toutes les sauces, qui fait suite à celui-ci dans le BV 507

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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