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  APMEP   Le monde fascinant des objets fractals.

Article du bulletin 518

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Marc Roux

- 23 mai 2016 -

par Florence Messineo.

Ellipses, 2015.

334 pages en 19 x24. Prix : 16 €.

ISBN : 9782340-008120

Ce livre veut être « une promenade ludique » parmi les objets fractals, considérés quasi-exclusivement sous l’angle de constructions étape par étape. Précédés de brefs Avant-propos, Préambule et Introduction, ses dix-huit chapitres ont pour titres : La côte de Bretagne, Les courbes de Von Koch, Le codage des courbes, À propos de dimension fractale, Les flocons de Von Koch, Les napperons de Sierpinski, Les courbes de Gosper, Les fonctions itérées et les attracteurs de familles de contractions, Un peu de botanique, Les courbes de Peano, Les courbes de Hilbert, Les poussières de Cantor, Les suites de Fibonacci et de Stern, Le nombre d’or, Jouer avec les suites infinies de radicaux et les fractions continuées, La suite de Prouhet Thue Morse, Les dragons de Heighway et de Levy, Toutes sortes de pavages.

Ils sont suivies d’Annexes consistantes (démonstrations de propriétés) et d’une brève Bibliographie.

De nombreux dessins en noir et blanc et seize pages hors-texte en couleurs illustrent le propos.

Les livres sur les fractals sont légion ; visant un public attiré par l’aspect esthétique et intriguant de ceux-ci, ils reprennent souvent les mêmes exemples. Celui-ci ne fait pas exception, mais il ajoute quelques notions qui ne sont pas toujours mises en relation avec ce domaine : suite de Fibonacci, nombre d’or, fractions continuées, pavages , ..., et aussi des choses moins connues : suite de Stern, les Kolams, ... Il incite le lecteur à l’activité de construction, et à ce titre peut être source d’activités scolaires, du collège au lycée. Les démonstrations de certaines propriétés, données dans les annexes, sont également abordables par des lycéens.

Par contre je ne peux pas passer sous silence de graves défauts concernant la rigueur de la rédaction : il n’est jamais dit que l’objet fractal n’est pas la figure construite, mais bien la limite de celle-ci quand le nombre d’étapes tend vers l’infini ; aucune distinction n’est faite entre valeur exacte et valeur approchée (« 1,6 , ce nombre est le nombre d’or », page 124) ; la définition d’« homothétie » donnée page 12 est fausse ; page 18, 4/37 doit se lire $(4/3)^7$ ; le mot « compacité » est employé à tort et à travers (page 68) ; pour les fractales qui recouvrent le plan (ou une partie du plan), il n’est jamais prouvé que tout point peut être atteint, et il n’est même pas dit qu’il faudrait le prouver ; pour l’auteur, dès qu’une orbite est portée par une droite, cette orbite est une droite. De plus certains dessins sont défectueux (raccordements imparfaits, défaut de symétrie) ; la rédaction, souvent maladroite, rend compliqué ce qui est simple (l’histoire des lapins de Fibonacci étirée sur 9 pages) ; elle franchit allègrement les bornes du charabia : « l’ensemble des nombres réels contient une infinité plus d’éléments que celui des nombres entiers » (page 142), et contient plusieurs authentiques erreurs (par exemple page 239 : lire « rapport $ \sqrt{2}\over 2$, angle + ou – 45° », au lieu de $\sqrt{2}$, + ou - 90°).

Ces insuffisances m’incitent à déconseiller de mettre cet ouvrage directement entre les mains d’élèves. Par contre il pourra suggérer de nombreuses idées d’activités aux enseignants, qui prendront soin de re-rédiger les énoncés avec plus de rigueur.

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