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  APMEP   Le paraboloïde hyperbolique d’équation $\boldsymbol{z = xy}$

Article du bulletin 486

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- 28 mai 2012 -

Jacques Lucet
Lycée Jean-Baptiste de la Salle à Saint-Denis (93).
jacques.lucet@laposte.net

Préambule :

Soit les points distincts A, B, C et D de l’espace $\mathbb R^3$. Soit aussi les réels $\lambda$ et $\mu$ non nuls et différents de 1. Posons M = (A($\lambda$),B($1 −\lambda$)), c’est-à-dire que le point M est le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients $\lambda$ et $1 − \lambda$. Posons encore :

N = (C($1 − \lambda$),D($\lambda$))

P = (A($\mu$),D($1 − \mu$))

Q = (B($\mu$),C($1 − \mu$))

R = (M($\mu$),N($1 − \mu$)).

Montrer que l’on a :

R = (P($\lambda$),Q($1 − \lambda$)) en utilisant le théorème d’associativité et en déduire que les droites (MN) et (PQ) sont concourantes.

1. Condition nécessaire et suffisante pour qu’un point appartienne à la surface S

Soit les points A(1,1,1), B(−1,1,-1), C(−1,−1,1) et D(1,−1,−1) dans un repère orthonormé $(O,x,y,z)$ : ce sont quatre sommets d’un cube comme représenté ci-contre.

• Vérifier que les points A, B, C et D appartiennent à la surface S d’équation $z = xy$.

• Vérifier également que les points M, N, P et Q définis dans le préambule appartiennent aussi à la surface S quels que soient les réels $\lambda$ et $\mu$.

• En déduire que les quatre droites (AB), (AD), (CD) et (CB) sont tout entières contenues dans la surface S.

• Prouver enfin que le point R appartient à la surface S ; que dire des droites (MN) et (PQ) ?

• Réciproquement, montrer que tout point R de la surface S se trouve sur deux droites (MN) et (PQ) s’appuyant sur les côtés du quadrilatère ABCD et entièrement contenues dans la surface S.

La surface S est donc l’ensemble des points R, intersection chacun de deux droites (MN) et (PQ) telles que décrites précédemment. On dit que la surface S est engendrée par de telles droites. L’utilitaire Excel va nous permettre d’en visualiser quelques unes formant un maillage.

2. Représentation d’une portion de la surface S

Dans un tableur, indiquer en première ligne à partir de la cellule B1, puis en première colonne à partir de la cellule A2, les réels de $−1$ à $1$ avec un pas de $0,1$.

• Dans la cellule B2, recopier la formule indiquée établissant le produit des cellules A2 et B1 et étendre cette formule avec la souris jusqu’à V2, puis V22.

• Cliquer sur l’icône de l’assistant graphique et choisir « Surface » de manière à obtenir le dessin ci-dessous. • Faire tourner la surface en cliquant sur l’un des sommets du cube et en laissant enfoncé le bouton gauche de la souris.

3. Intersection de la surface S avec des plans particuliers

• Si l’on pose $z = f (x,y) = xy$, comparer $f (x,y)$ et $f (-x,-y)$ et en déduire une propriété géométrique de la surface S.

• Quelle est l’intersection de la surface S avec le plan $(xOy)$ ? Montrer que l’intersection de la surface S avec un plan parallèle au plan $(xOy)$ et différent du plan $(xOy)$ est une hyperbole.

• Montrer que l’intersection de la surface S avec un plan parallèle au plan $(zOy)$ ou au plan $(zOx)$ est une droite.

• Montrer enfin que l’intersection de la surface S avec le plan d’équation $x − y = 0$ est une parabole.

On dit que la surface S est un paraboloïde hyperbolique.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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