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  APMEP   Le problème n° 308 et sa solution

Article du bulletin 469

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- 3 mai 2007 -

Énoncé n° 308

(François LO JACOMO, 75–Paris)

Soient $(D_1)$ et $(D_2)$ deux droites de l’espace. À quelle condition, si l’on compose une rotation d’un tiers de tour autour de $(D_1)$ avec une rotation d’un tiers de tour autour de $(D_2)$ , obtient-on une rotation d’un tiers de tour ?

À quelle condition, si l’on compose une rotation d’un quart de tour autour de $(D_1)$ avec une rotation d’un quart de tour autour de $(D_2)$ , obtient-on une rotation d’un quart de tour ?

SOLUTION

C’est en relisant le manuscrit de Jean Trignan, La géométrie des nombres hypercomplexes (paru récemment chez Vuibert), que m’est venue l’idée de ce problème.

Et j’ai reçu plusieurs solutions : Michel BATAILLE (76–Rouen), Richard BECZKOWSKI (71–Chalon s/Saône), Marie-Laure CHAILLOUT (91–Epinay s/Orge), Christian DUFIS (87–Limoges), Robert FERRÉOL (75–Paris), Georges LION (98–Wallis), René MANZONI (76–Le Havre) et Raymond RAYNAUD (04–Digne), qui permettent de dégager trois méthodes.

Tout d’abord, ne négligeons pas la question : à quelle condition, si l’on compose une rotation autour de $(D_1)$ avec une rotation autour de $(D_2)$, obtient-on une rotation ?

Appelons $r_1$ et $r_2$ les rotations d’axes $(D_1)$ et $(D_2)$, $(D_3)$ l’axe de la composée, M un point de $(D_3)$.

Si $r_1$ transforme M en M’,$r_2$ doit transformer M’ en M. Donc $(D_1)$ doit appartenir au plan bissecteur de [MM’] et $(D_2)$ également : les deux axes $(D_1)$ et $(D_2)$ doivent être coplanaires. Si $(D_1)$ et$(D_2)$ ne sont pas coplanaires, la composée n’est pas une rotation, mais un vissage propre.

La première des trois méthodes utilisées, peut-être la plus classique, consiste à considérer les rotations comme des produits de demi-tours : si d est le demi-tour autour de la perpendiculaire commune à $D_1$ et $D_2$, on peut écrire : $r1 = d o d_1$,

$r_2 = d_2 o d$, d’où $r_2 o r_1 = d_2 o d_1$. Le problème se ramène à trouver l’angle des axes des demi-tours $d_2$ et $d_1$.

Mais la seconde méthode me semble plus facile à visualiser.

Elle consiste à considérer les rotations comme des produits de symétries planes.

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