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  APMEP   Les nombres – Construction basée sur la théorie des ensembles

Article du bulletin 516

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en vue d’ériger les fondements de l’analyse.

Marc Roux

- 12 janvier 2016 -

par Samuel Nicolay.

Hermann, 2015.

292 pages en 17x 24.

Prix : 34 € ISBN : 978-2-7056-9095-3

Après une Introduction, l’ouvrage commence par un gros chapitre I. Préliminaires où l’on trouve rappels et compléments sur la théorie des ensembles, y compris un développement sur l’axiome du choix, ainsi que sur les structures algébriques et sur les espaces métriques. Puis, sans surprise, les chapitres suivants sont titrés. II. Les nombres naturels, III. Les nombres entiers, IV. les nombres rationnels, V. Les nombres réels. Par contre, si l’on attendait ensuite les complexes et peut-être les quaternions, on est déçu, mais on ne perd pas au change car le dernier chapitre s’intitule VI. Les nombres hyperréels, et traite donc de l’analyse non-standard. Une imposante bibliographie de 138 références complète l’ouvrage.

Ce travail est d’inspiration nettement bourbakiste  : tous les termes employés sont définis, toutes les assertions sont démontrées, même les plus faciles, en utilisant uniquement les axiomes explicitement indiqués et les résultats antérieurs. Cependant il se distingue de son illustre prédécesseur par deux aspects au moins : d’une part il introduit chaque notion et chaque théorème de façon intuitive, avec des renseignements historiques, avant d’en donner la version formalisée  ; d’autre part il donne le plus souvent possible plusieurs démonstrations de chaque résultat important. Ainsi on trouve en tout cinq constructions de l’ensemble des réels, dont une à partir des rationnels non-standards, avec démonstration de leur équivalence.
La démarche va principalement, mais pas toujours, du général au particulier : certains concepts sont généralisés après avoir été introduits dans un cadre restreint.
Toutes les démonstrations, souvent découpées en lemmes dont la preuve ne nécessite que quelques lignes, sont à la portée de tout titulaire d’une licence de mathématiques.

Tout lecteur du BV trouvera donc ici l’occasion de raviver, compléter, préciser et enrichir ses connaissances, d’accéder à une vue globale de ce que sont, au 21ème siècle, les objets mathématiques de base appelés nombres. En particulier, le dernier chapitre est une excellente porte d’entrée dans l’univers de l’analyse non-standard ; plus d’un, comme moi, en découvrira les bases solides : les infinitésimaux (et les autres nombres hyperréels), loin des objets « idéaux », un peu flous et incertains, de Leibniz, ne sont jamais que des classes d’équivalence de suites réelles.

Nulle œuvre n’est parfaite : celle-ci souffre principalement, d’une part, de l’absence d’un index ; d’autre part, du choix (délibéré et respectable) de ne donner aucun exemple des concepts étudiés, ni comme introduction, ni comme illustration. Autre défaut, beaucoup plus bénin, l’abondance de coquilles, la plupart anecdotiques (omission fréquente de « s » au pluriel), deux ou trois plus gênantes car intervenant dans des formules.

Je souhaite à tous nos lecteurs de tirer de cette lecture autant de plaisir et de satisfaction que j’en ai ressentis moi-même.

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