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  APMEP   Les problèmes du BV 500

Article du bulletin 500

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et solutions des 494-3, 495-4

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 500 - 1

Soit f : [0, 1] $\rightarrow \mathbb{R}$ continue, telle que $\int_0^1 f(t)dt=0$. Montrer qu’il existe $x \in ]0, 1[$ tel que $\int_0^x tf(t)dt=0$

voir l’article où est publiée une solution

Problème 500 - 2 (Jean-Louis Trinquand (Clermont-Ferrand))

Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On extrait au hasard successivement et sans remise tous les jetons de l’urne. On note $t_i$ le numéro porté par le jeton obtenu au i-ième tirage. On note $x_i$ le plus petit nombre de séquences d’entiers consécutifs que l’on peut former en utilisant tous les entiers $t_1, …, t_i$.
On définit enfin une variable aléatoire X par

$$X=max\{x_i|i \in [[1,n ]] \} $$

Que dire d’icelle ?

Voici un exemple pour n = 8. Si on a alors

$$t_1 = 4, t_2 = 5, t_3 = 2, t_4 = 7, t_5 = 1, t_6 = 3, t_7 = 8, t_8 = 6,$$

alors

$$x_1 = card \{\{4 \}\}=1, x_2 = card \{\{4,5\}\} = 1, x_3 = card \{\{2 \} , \{ 4,5\}\} = 2,$$

$$x_4 = card\{\{2 \} , \{4,5\} , \{7\}\}= 3, x_5 = card\{\{1,2\} ,\{4,5\}, \{7\}\} = 3,$$

$$x_6 = card \{1,2,3,4,5 \} ,\{ 7 \}\} = 2, x_7 = card\{\{1,2,3,4,5\} , \{7,8\}\} = 2,$$

$$x_8 = card\{\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\} = 1.$$

Dans ce cas, X prend la valeur 3.

L’énoncé suivant, proposé dans le bulletin 499, comportait une erreur. Voici donc une version correcte.

Problème 499 - 3 (François Duc (Orange))

On pose $u_1= 1, u_2= 2$. Pour n ≥ 2, $u_{n+1}$ est le plus petit entier naturel strictement positif, différent de $u_1, u_2, …, u_n$, non premier avec $u_n$. Montrer que la suite u est une permutation de $\mathbb{N}^*$ . Étudier son comportement en +∞.

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 494-3 (Question de Moubinool Omarjee)

Pour t > 0, on définit

$$H(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!(n+1)!}$$

Montrer que

$$H(t) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi} \frac{e^{2\sqrt t}}{t^\frac{3}{4}}$$

Télécharger la solution de Moubinool Omarjee (Lycée Jean-Lurcat, Paris) en pdf.

Problème 495-4 (Question de Jean-Louis Trinquand)

Soit f : [0, 1] $\rightarrow$ [0, 1] une application continue. On considère la suite x définie par $x_1= 1$ et pour $n \in \mathbb{N}^*$ ,

$$x_{n+1}=\left(1-\frac{1}{n}\right)x_n+\frac{1}{n} f(x_n)$$

Étudier la convergence de cette suite. Que dire de l’éventuelle limite ?

Télécharger les solutions de Raymond Heitz (Lavergne) et Xavier Reliquet (Paris)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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