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  APMEP   Les problèmes de fermeture : une mine d’exercices à ouvrir en classe

Article du bulletin 463

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- 17 mars 2016 -

Friedelmeyer Jean-Pierre

Résumé de l’article

L’auteur présente un éventail d’exercices qui peuvent se décliner d’un niveau facile jusqu’à des situations plus élaborées. On peut présenter d’abord les énoncés sous forme "fermée", en commençant par la locution : "démontrer que... ", puis le professeur pourra passer à la forme plus ouverte "la ligne polygonale ... se ferme-t-elle ?". On peut trouver souvent un problème de fermeture en portant un autre regard sur certaines figures familières : de nombreux exemples sont donnés à partir de triangles et cercles inscrits et circonscrits, de triangles et segments parallèles aux côtés, de quadrillages de rectangles, de suite de tangentes à 2 coniques (les configurations de Steiner et de Poncelet), etc. Quelques pistes de solutions sont données en fin d’article.

Introduction

Les problèmes pouvant donner lieu à des exercices simples, qu’on peut poser en classe, tout en ouvrant à des situations plus élaborées et difficiles sont plutôt rares.
Les problèmes de fermeture sont de ceux-là : on peut commencer au collège, continuer au lycée et tomber sur des situations qui paraissent insolubles ou nécessitent des outils très puissants. Souvent un problème de fermeture facile peut en cacher un autre beaucoup plus difficile : il suffit de modifier légèrement les hypothèses. De sorte que tout un chacun peut, avec un peu d’imagination, inventer ses propres problèmes de fermeture. Ici, les énoncés sont présentés la plupart du temps sous forme « fermée », en commençant par la locution « démontrer que… » ; mais il est clair qu’avec les élèves le professeur pourra poser la question sous une forme plus ouverte, telle que « la ligne polygonale … se ferme-t-elle ? ». Pour ne pas orienter votre recherche et pour stimuler votre imagination, nous ne donnons pas de solution aux problèmes proposés dans le corps du texte. Cependant quelques pistes seront fournies en fin d’article, pour ceux qui n’ont pas trop le temps de chercher ou qui sont à court d’idées.

Plan de l’article

  • Introduction
  • Qu’est-ce qu’un problème de fermeture ?
  • Un exemple classique.
  • Situation plus générale.
  • Un exemple de configuration de Steiner
  • Un exemple de configuration de Poncelet
  • Le cas de la parabole
  • Quelques pistes supplémentaires.

Télécharger l’article en pdf dans son intégralité

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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