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  APMEP   Les problèmes du BV 486

Article du bulletin 486

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et solutions des 481-1, 481-2, 481-3

Hochart Max

- 10 juin 2012 -

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 486-1

Soit P et Q deux polynômes à coefficients entiers relatifs et sans racine complexe commune. Pour $n \in \mathbb Z$, on désigne par $u_n$ le pgcd de P(n) et Q(n). Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb Z}$ est périodique.

voir l’article où est publiée la solution

Problème 486-2 (Question de Michel Lafond)

On appelle nombre d’Einstein un entier au moins égal à 2 dont la décomposition en facteurs premiers est $mc^2$ où m et c sont des nombres premiers distincts.
Ainsi, $7 442 = 2 \times 61^2, 7 443 = 3^2 \times 827, 7 444 = 2^2 \times 1861$ sont trois nombres d’Einstein consécutifs.
Combien existe t-il au plus de nombres d’Einstein consécutifs ?

voir l’article où est publiée la solution

Problème 486-3 (Question de Roger Cuculière)

Trouver tous les couples (E, f ) où E est un voisinage de 0 dans $\mathbb R$, et f est une fonction définie sur E, non constante, continue en 0, à valeurs réelles, et telle que, si

$$x, y \in E \text{ verifient } f (x) f (y) \ne 1, \text {alors }x+y \in E \text{ et }f(x+y)={{f(x)+f(y)} \over {1-f(x)f(y)}}$$

voir l’article où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 481-1
Soit p > 3 un nombre premier. On pose

$$ \sum_\limits{k=1}^p {1 \over k}= \frac{r}{ps}$$

r, s sont des entiers. Montrer que $p^3$ divise r − s.

Commentaire :
Comme le remarque George Vidiani (Fontaine Les Dijon), ce problème est lié au théorème de Wolstenholme : pour un nombre premier p > 3, le numérateur de $ \sum_\limits{k=1}^{p-1} {1 \over k}$ est divisible par $p^2$. Le résultat en découle : s’il existe deux entiers a, b $\in \mathbb N^*$, b premier avec p, tels que

$$ \sum_\limits{k=1}^{p-1} {1 \over k}=\frac{ap^2}{b} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

alors

$$\frac{r}{ps}=\sum_\limits{k=1}^p \frac{1}{k}=\frac{ap^2} {b}+\frac{1}{ p}=\frac{ap^3+b}{bp}$$

donc

$$ ap^3s=b(r-s)$$


Comme b et p sont premiers entre eux, $p^3$ divise r − s.
Dans la suite, on se contente donc de démontrer l’existence d’entiers a et b vérifiant l’égalité (1). C’est le point de départ de tous les lecteurs.

Solution de Pierre Renfer (Ostwald)
Solution de Maurice Bauval (Versailles)
Bernard Collignon (Coursan), François Lo Jacomo (Paris) et Marie- Laure Chaillout (Épinay sur Orge) proposent des solutions très semblables à celle de Maurice Bauval.


Problème 481-2
Résoudre dans $\mathbb R$ l’équation $4x^2-40[x]+5=0$ où [x] désigne la partie entière de x.

Solution de Marie-Laure Chaillout (Épinay sur Orge)

Autres solutions – Louis-Marie Bonneval (Poitiers), Robert Bourdon (Tourgeville), Bernard Collignon (Coursan), Franck Gautier (Pérignat lès Sarliève), la famille Guillemet (35), Lise Heilbronner (Rennes), Éric Oswald (Borgo), Pierre Renfer (Ostwald), Raphaël Sinteff (Nancy) et enfin George Vidiani (Fontaine Les Dijon) m’envoient des solutions très proches de celle de Marie-Laure Chaillout.
Au passage, je remercie Robert Bourdon pour sa gentille lettre.

Maurice Bauval (Versailles), Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg), Raymond Raynaud (Digne) proposent une approche graphique.
Par exemple, on trace les graphes des fonctions $x \rightarrow [x]$ et $x \rightarrow \frac{4x^2+51} {40}$.
Sur ce graphe apparaissent les quatre valeurs possibles pour [x], à savoir 2,6,7,8. Le reste est inchangé.


Problème 481-3
Soit S une partie infinie du plan telle que la distance entre deux points de S est toujours un entier. Que dire de S ?

Solution de Pierre Renfer (Ostwald) et Bernard Collignon (Coursan)
Bernard Collignon donne une majoration un peu plus fine mais du même ordre de grandeur.
Pierre Renfer remarque que l’on peut trouver une partie S du plan de cardinal arbitrairement grand, telle que la distance entre deux points de S est toujours un entier et dans laquelle trois points quelconques sont non alignés. Pour $n \in \mathbb N, n>3$, on considère sur le cercle trigonométrique n points dont l’angle polaire est le double d’un angle à cosinus et sinus rationnel. La distance entre deux tels points d’affixes $e^{2i\phi}$ et $e^{2i\theta}$ vaut

$$ |e^{2i\phi}-e^{2i\theta}|=2|sin(\theta-\phi)|=2|sin(\phi)cos(\theta)-cos(\phi)cos(\theta)|$$

donc est un nombre rationnel. En appliquant à la configuration une homothétie convenable, on se ramène au cas où toutes les distances sont entières.
George Vidiani (Fontaine Les Dijon) précise que ce résultat est attribué à Anning et Erdös, et signale leur article « Integral distances » publié en 1945 dans Bull. Amer. Math. Soc 51.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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