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  APMEP   Les problèmes du BV 491

Article du bulletin 491

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et solutions des problèmes 484-1, 485-1, 486-1

Hochart Max

- 29 avril 2015 -

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 491 - 1

Soit F la suite de Fibonacci définie par $F_0= 0, F_1= 1$ et $F_{n+2}= F_{n+1}+ F_n$.
Montrer que pour n ≥ 1,

$$\prod_{k=1}^{n} F_k\le \frac{1}{n!}\exp(F_{n+4}-2n-2)$$

voir l’article où est publiée la solution

Problème 491 - 2 (Question de Fernand Canonico)

Soit P un polynôme complexe de degré n ≥ 1. Pour $\omega \in \mathbb C$, soit $v_\omega$ le nombre de solutions complexes de l’équation $P(z) = \omega$. Montrer que

$$\sum_{\omega \in \mathbb C}(n-v_\omega)=n-1$$

Problème 491 - 3

Trouver toutes les suites strictement croissantes d’entiers $(u_n)_{n\ \mathbb N}$ vérifiant les conditions suivantes pour tout $n \in \mathbb N *$ :

  1. $u_{2n}= 2u_n$
  2. si $u_n$ est premier, n est premier.

Erratum

Je remercie Maurice Bauval (Versailles) qui me signale une erreur de frappe dans le bulletin 488. Pages 363 et 384, il faut lire $R=\frac{5}{24}\sqrt{793}=5.866719933$

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 484-1 (question de Michel Lafond)

Résoudre dans $\mathbb Z *$ l’équation $a^2 + b^3 = c^4$.

télécharger la solution de Pierre Renfer (Saint George d’Orques)

Remarque

télécharger la solution de Michel Lafond (Dijon)

télécharger le commentaire de Vincent Thill (Migennes)

Problème 485-1 (Olympiades internationales 2009)

Soit n un entier strictement positif et soit $a_1, \dots, a_k$, avec k ≥ 2, des entiers distincts appartenant à l’ensemble $[[1;n]]$ tels que n divise $a_i(a_{i+1}-1)$ pour $i \ in [[1,k-1]]$.
Montrer que n ne divise pas $a_k (a_1-1)$

télécharger la solution de Franck Gautier (Pérignat lès Sarliève)

Problème 486-1

Soit P et Q deux polynômes à coefficients entiers relatifs et sans racine complexe commune. Pour $n \in \mathbb Z$, on désigne par $u_n$ le pgcd de P(n) et Q(n). Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb Z}$ est périodique.

Solutions de Marie-Laure Chaillout (Épinay sur Orge), Franck Gautier (Pérignat lès Sarliève), Moubinool Omarjee (Paris), Pierre Renfer (Saint George d’Orques).

télécharger la solution et ses commentaires

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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