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  APMEP   Les problèmes du BV 485

Article du bulletin 485

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et solutions des 480-1, 480-2, 480-3,

- 1er mai 2015 -

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 485-1 (Olympiades internationales 2009)

Soit n un entier strictement positif et soit $a_1, \dots, a_k$, avec k ≥ 2, des entiers distincts appartenant à l’ensemble $[[1;n]]$ tels que n divise $a_i(a_{i+1}-1)$ pour $i \in [[1,k-1]]$.
Montrer que n ne divise pas $a_k(a_1-1)$

voir l’article où est publiée la solution

Problème 485-2 (Olympiades internationales 2009)

Soit ABC un triangle et O le centre de son cercle circonscrit. Les points P et Q sont des points intérieurs aux côtés CA et AB respectivement. Soit K, L et M les milieux respectifs des segments BP, CQ et PQ, et soit $\Gamma$ le cercle passant par K, L et M. On suppose que la droite (PQ) est tangente au cercle $\Gamma$. Montrer que OP = OQ.

Problème 485-3 (Olympiades internationales 2009)

Soit $s_1, s_2, s_3$, … une suite strictement croissante d’entiers strictement positifs telle que les sous-suites $s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3} \dots$, et $s_{s_{1+1}} , s_{s_{2+1}} , s_{s_{3+1}} \dots$ soient deux progressions arithmétiques. Montrer que la suite $s_1 , s_2, s_3 \dots$ est aussi une progression arithmétique.

Problème 485-4 (Olympiades internationales 2009)

Soit ABC un triangle tel que AB = AC. Les bissectrices de $\widehat{CAB}$ et $\widehat{ABC}$ rencontrent respectivement les côtés BC et CA en D et E. Soit K le centre du cercle circonscrit dans le triangle ADC. On suppose que $\widehat{BEK}=\frac{\pi}{4}$. Trouver toutes les valeurs possibles de $\widehat{CAB}$ .

Problème 485-5 (Olympiades internationales 2009)

Déterminer toutes les fonctions f : $\mathbb N*$ → $\mathbb N*$ telles que. pour tous a, b $\in \mathbb N*$, il existe un triangle non aplati dont les longueurs des côtes sont a, f(b) et f(b + f(a) − l).

Problème 485-6 (Olympiades internationales 2009)

Soit $a_1, a_2,\dots, a_n$ des entiers strictement positifs distincts et soit M un ensemble de n − 1 entiers strictement positifs ne contenant pas $s = a_1+ a_2+ \dots + a_n$. Une sauterelle doit faire des sauts le long de l’axe réel ; partant du point 0, elle doit effectuer n sauts vers la droite de longueurs $a_1, a_2, \dots a_n$ dans l’ordre de son choix.
Montrer que la sauterelle peut choisir l’ordre de ses sauts de façon à ne passer par aucun point de M.

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 480-1

Montrer que la distance minimale entre un point du cercle de rayon r > 0 centré en l’origine et un point du réseau $ \mathbb{Z} $ tend vers 0 quand r tend vers $+\infty$.

Télécharger la solution de Michel Lafond (Dijon), Jean Lefort (Wintzenheim), Emmanuel Moreau (Joigny), Pierre Renfer (Ostwald), Daniel Saada (Rambouillet)

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Problème 480-2

Pour $ n \in \mathbb{N^{*}}$, $S_n$ désigne le groupe des permutations de l’ensemble [1,n]. Pour chaque permutation $\sigma \in\ S_n$ on note $\omega(\sigma )$ le nombre d’orbites de $\sigma$ . Factoriser le polynôme

$P_ {n}(X) = \sum _{\sigma \in\ S_n} X^{\omega(\sigma )}$

Télécharger la solution de Franck Gautier (Pérignat lès Sarliève), Moubinool Omarjee (Paris), Pierre Renfer (Ostwald)

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Problème 480-3 (question de Fernand Canonico)

Soit k, $n \in\mathbb{N}$. Est-il vrai que le n-ième terme de la suite de Fibonacci (définie par $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$) est divisible par $5^k$ si et seulement si n l’est ?

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Télécharger la solution de Fernand Canonico (Clermont-Ferrand)

Emmanuel Moreau (Joigny) propose une belle solution à mi-chemin entre celle de Fernand Canonico ci-dessus (calcul de la valuation 5-adiquc de $F_n$) et celle de Franck

Télécharger la solution de Franck et Patricia Gautier (Pérignat lès Sarliève)

Télécharger la solution de Marie-Laure Chaillout (Épinay sur Orge)

Télécharger la solution de Pierre Renfer (Ostwald)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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