Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 511-1
Trouver tous les polynômes scindés sur \(\mathbb R\) et à coefficients dans \(\{–1,0,1\}\).

Problème 511–2 (Michel Lafond (Dijon))
Soit Q un quadrilatere convexe non aplati. Deux côtes opposés de Q mesurent a et c.
La médiane joignant les milieux des deux autres côtés mesure b. Démontrer que si \(b^2=\frac{a^2}{3}+c^2\), alors Q est un trapèze.

Problème 511–3
Une application f : \(\mathbb R \rightarrow \mathbb R\) transformant tout segment en segment est-elle automatiquement continue ?

voir l’article où est publiée une solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 499 - 1 (Michel Lafond, Dijon)

On pose \(a_0= 0, a_1= 1\) et pour \(n \in \mathbb N^*\) , \(a_{2n}=a_n\) et \(a_{2n+1}= a_n + a_{n+1}\).
Montrer que pour \(n \in \mathbb N\), on a \(a_n \le n^{0.695}\).
Montrer qu’il existe une infinité d’entiers naturels \(n \in \mathbb N\) tels que \(a_{2n} \ge n^{0.694}\).

Solutions de Maurice Bauval (Versailles), Michel Lafond (Dijon), Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orque)

Cette solution est due à Pierre Renfer.

Problème 499 - 3 (François Duc (Orange))
On pose \(u_1=1, u_2= 2\). Pour \(n \ge 2\), \(u_{n+1}\) est le plus petit entier naturel strictement
positif, différent de \(u_1, u_2, …, u_n\), premier avec \(u_n\).
Montrer que la suite u est une
permutation de \(\mathbb N^*\) . Étudier son comportement en +∞.

Solutions de Francois Duc (Orange) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques).

Cette suite s’appelle la suite de l’électrocardiogramme (« the EKG sequence » en anglais). Francois Duc précise que cet exercice a été publié dans le journal Le Monde par Élisabeth Busser et Gilles Cohen.

Solution de Pierre Renfer

Problème 503–3
On considère un entier \(n \in \mathbb N\)* , un nombre premier p ≥ 3 et un sous-groupe fini G du groupe \(GL_n(\mathbb Z)\) des matrices inversibles de taille n à coefficients entiers. Enfin, \(\mathbb F_p\) est le corps \(\mathbb Z/p \mathbb Z\) . Montrer que l’application naturelle \(\left\{ \begin{array}{l} G \rightarrow GL_n(\mathbb F_p) \\ A \mapsto A \mod p \end{array} \right.\)
est injective.

Réponses de Michel Bataille (Rouen), Pierre Campet (Paris), Georges Lion (Wallis) qui signale avoir été aidé par un anonyme, Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques)

Michel Bataille me signale que cet énoncé a éte donné à l’oral des ENS et précise qu’on en trouve un corrigé dans l’excellent livre de Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas, Exercices de mathématiques, Oraux X-ENS, algèbre 2, publié par les éditions Cassini. À ma connaissance, ce résultat est un lemme dû à
Jean-Pierre Serre et qui permet entre autre de borner le cardinal d’un sous-groupe fini de \(GL_n(\mathbb Z )\).

Voici une solution possible.

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