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  APMEP   Les problèmes du BV 511

Article du bulletin 511

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Et solutions des 499-1, 499-3 et 503-2

Hochart Max

- 20 septembre 2016 -

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 511-1
Trouver tous les polynômes scindés sur $\mathbb R$ et à coefficients dans $\{–1,0,1\}$.

Problème 511–2 (Michel Lafond (Dijon))
Soit Q un quadrilatere convexe non aplati. Deux côtes opposés de Q mesurent a et c.
La médiane joignant les milieux des deux autres côtés mesure b. Démontrer que si $b^2=\frac{a^2}{3}+c^2$, alors Q est un trapèze.

Problème 511–3
Une application f : $\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ transformant tout segment en segment est-elle automatiquement continue ?

voir l’article où est publiée une solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 499 - 1 (Michel Lafond, Dijon)

On pose $a_0= 0, a_1= 1$ et pour $n \in \mathbb N^*$ , $a_{2n}=a_n$ et $a_{2n+1}= a_n + a_{n+1}$.
Montrer que pour $n \in \mathbb N$, on a $a_n \le n^{0.695}$.
Montrer qu’il existe une infinité d’entiers naturels $n \in \mathbb N$ tels que $a_{2n} \ge n^{0.694}$.

Solutions de Maurice Bauval (Versailles), Michel Lafond (Dijon), Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orque)

Cette solution est due à Pierre Renfer.

Problème 499 - 3 (François Duc (Orange))
On pose $u_1=1, u_2= 2$. Pour $n \ge 2$, $u_{n+1}$ est le plus petit entier naturel strictement positif, différent de $u_1, u_2, …, u_n$, premier avec $u_n$.
Montrer que la suite u est une permutation de $\mathbb N^*$ . Étudier son comportement en +∞.

Solutions de Francois Duc (Orange) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques).

Cette suite s’appelle la suite de l’électrocardiogramme (« the EKG sequence » en anglais). Francois Duc précise que cet exercice a été publié dans le journal Le Monde par Élisabeth Busser et Gilles Cohen.

Solution de Pierre Renfer

Problème 503–3
On considère un entier $n \in \mathbb N$* , un nombre premier p ≥ 3 et un sous-groupe fini G du groupe $GL_n(\mathbb Z)$ des matrices inversibles de taille n à coefficients entiers. Enfin, $\mathbb F_p$ est le corps $\mathbb Z/p \mathbb Z$ . Montrer que l’application naturelle $\left\{ \begin{array}{l} G \rightarrow GL_n(\mathbb F_p) \\ A \mapsto A \mod p \end{array} \right.$ est injective.

Réponses de Michel Bataille (Rouen), Pierre Campet (Paris), Georges Lion (Wallis) qui signale avoir été aidé par un anonyme, Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques)

Michel Bataille me signale que cet énoncé a éte donné à l’oral des ENS et précise qu’on en trouve un corrigé dans l’excellent livre de Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas, Exercices de mathématiques, Oraux X-ENS, algèbre 2, publié par les éditions Cassini. À ma connaissance, ce résultat est un lemme dû à Jean-Pierre Serre et qui permet entre autre de borner le cardinal d’un sous-groupe fini de $GL_n(\mathbb Z )$.

Voici une solution possible.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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