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  APMEP   Les problèmes du BV 481

Article du bulletin 481

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Hochart Max

- 21 janvier 2012 -

Les propositions de problèmes, solutions ou commentaires, sont à envoyer par courrier à Max HOCHART 65, rue Blatin 63 000 CLERMONT-FERRAND ou par courriel à hochartmax@yahoo.fr.

Je souhaiterais commencer cette rubrique par des remerciements pour les courriers très touchants de bienvenue et d’encouragements qui me sont parvenus.

La publication des solutions commencera dans le prochain numéro. Il est encore temps d’envoyer vos réponses, même partielles. Par ailleurs, George Lion (Wallis) me signale une coquille dans l’énoncé 479-6. Ci-dessous, un énoncé corrigé.

Problème 479-6

Soit ABCD un quadrilatère convexe tel que $AB\neq BC$. Les cercles inscrits dans les triangles ABC et ADC sont notés respectivement $\Omega_1$ et $\Omega_2$.
On suppose qu’il existe un cercle $\Omega $ qui est tangent à la demi-droite [BA) au-delà de A, tangent à la demi-droite [BC) au-delà de C et qui est aussi tangent aux droites (AD) et (CD).
Montrer que les tangentes communes extérieures à $\Omega_1$ et $\Omega_2$ se coupent en un point de $\Omega$.

voir l’article où est publiée une solution

Problème 481-1

Soit p > 3 un nombre premier. On pose

$\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k}=\frac{r}{ps}$ où r, s sont des entiers. Montrer que $p^3$ divise r - s.

où [x] désigne la partie entière de x.

voir l’article où est publiée une solution

Problème 481-2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $4x^2$- 40[x] +51=0 où [x] désigne la partie entière de x.

voir l’article où est publiée une solution

Problème 481-3

Soit S une partie infinie du plan telle que la distance entre deux points de S est toujours un entier. Que dire de S ?

voir l’article où est publiée une solution

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