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  APMEP   Les problèmes du BV 493

Article du bulletin 493

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et solutions des 486-2, 487-1

Hochart Max

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 493-1
soit $(a_n)_{n \ge 1}$ une suite de réels tels que pour tout $i,j \in \mathbb N^*, a_{i+j} \le a_i+a_j$
Montrer que pour tout $n \in \mathbb N^*$

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{a_k}{k} \ge a_n$$

voir l’article où est publiée la solution

Problème 493–2 (Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg))
Dans le plan euclidien, soit $\Gamma$ un cercle de centre O, et soit U et V deux points distincts, alignés avec le centre O. À partir d’un point A du cercle $\Gamma$, on trace la droite (AU) qui recoupe $\Gamma$ en un point B ; on trace la droite (BL) perpendiculaire à (UV) qui recoupe $\Gamma$ en un point C ; on trace la droite (CV) qui recoupe $\Gamma$ en un point $A_1$.
Puis l’on recommence : on trace la droite ($A_1$ U) qui recoupe $\Gamma$ en un point $B_1$ ; on trace ($B_1L_1$) perpendiculaire à (UV) qui recoupe $\Gamma$ en un point $C_1$  ; on trace ($C_1$V), etc. Est-il possible que la ligne polygonale $ABCA_1B_1C_1A_2B_2C_2$… se referme en un point $A_n$ pour un entier naturel n ? Autrement dit, existe t-il n $\in \mathbb N$ tel que $A_n$ soit confondu avec A ?

voir l’article où est publiée la solution

Problème 493–3 (Michel Lafond)

Pour un entier strictement positif n, on note $p_n$ la probabilité pour que, dans le système décimal, deux nombres entiers à n chiffres (dont l’écriture ne commence pas par 0), choisis indépendamment, au hasard, aient un produit ayant 2n chiffres.

Étudier $p_n$. En particulier, montrer que

$$p_n=\frac{10}{81}(9-ln(10) \pm 3\times10^{-n})$$

voir l’article où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 486-2 (Question de Michel Lafond)
On appelle nombre d’Einstein un entier au moins égal à 2 dont la décomposition en facteurs premiers est $mc^2$ où m et c sont des nombres premiers distincts.
Ainsi, $7 442 = 2 \times 61^2, 7 443 = 3^2 \times 827, 7 444 = 2^2 \times 1861$ sont trois nombres

Solution de Jean-Louis Nicolas (Institut Camille Jordan, UMR 5208, Université Claude Bernard (Lyon 1))

Me sont parvenues deux autres solutions correctes : Michel Lafond (Dijon), Pierre Renfer (Saint George d’Orques).

Problème 487-1 (Question de Srinivasa Ramanujan)
Pour $x \geq 1$, simplifier

$$f(x) = \sqrt{ 1 +x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+(x+3)\sqrt{1+\ldots}}}}}$$

après avoir montré que cette expression avait un sens. d’Einstein consécutifs.
Combien existe t-il au plus de nombres d’Einstein consécutifs ?

Solutions de Jean-Claude Carréga (Lyon), Laurent Chéno (Lycée Dorian, Paris 11e), Franck Gautier (Pérignat lès Sarliève), Michel Lafond (Dijon), Jean Lefort (Wintzenheim), Paul Mercat (Paris), Moubinool Omarjee (Lycée Jean Lurçat, Paris), Joël Payen (Gagny), Pierre Renfer (Saint-George d’Orques).

Voici sans doute la solution la plus rapide : Solution de Jean-Claude Carréga (Lyon).

Solution abordable en terminale

Solution de Franck Gautier (Pérignat lès Sarliève)

Solution de Paul Mercat (Paris)

Solution de Moubinool Omarjee (Lycée Jean Lurçat, Paris)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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