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  APMEP   Les problèmes du BV 495

Article du bulletin 495

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et solutions des 487-3, 488-3

Hochart Max

- 3 décembre 2015 -

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 495-1
Pour $n \in \mathbb N^*$, on note classiquement $\mathcal{U}_n$ l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité, à savoir l’ensemble des complexes z tels que $z^n = 1$. Étudier, selon les valeurs de n, l’existence d’une application $f : \mathcal{U}_n \rightarrow \mathcal{U}_n$ telle que, pour tout $z \in \mathcal{U}_n$,

$$f \circ f(z)=z^2$$

Je remercie Philippe Patte d’avoir attiré mon attention sur le problème suivant, inspiré d’un oral de Centrale 2010.

Problème 495-2
Calculer le déterminant de la matrice $A(i⋁j)_{1\le i,j\le n}$ où, pour deux entiers naturels i, j, le symbole ij désigne le ppcm de i et j.

voir l’article où est publiée la solution

Problème 495-3 (Michel Lafond)
Un entier strictement positif n est pythagoricien si dans l’anneau $\mathbb Z /n \mathbb Z$ des entiers modulo n, tout élément est somme de deux carrés. Quels sont les entiers pythagoriciens ?

voir l’article où est publiée la solution

Problème 495-4 (Jean-Louis Trinquand)
Soit f : [0, 1] $ \rightarrow$ [0, 1] une application continue. On considère la suite x définie par $x_1= 1$ et pour $n \in \mathbb N$ *,

$$x_{n+1}=\left (1-1\over n \right) x_n+1 \over n f(x_n).$$

Étudier la convergence de cette suite. Que dire de l’éventuelle limite ?

Problème 495-4 (Question de Jean-Louis Trinquand)

Soit f : [0, 1] $ \rightarrow $ [0, 1] une application continue. On considère la suite x définie par $x_1= 1$ et pour $n \in \mathbb{N}$* ,

$$x_{n+1}=\left(1- \frac{1}{n} \right) x_n + \frac{1}{n} f(x_n)$$

Étudier la convergence de cette suite. Que dire de l’éventuelle limite ?

voir l’article où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 487-3 (Question de Michel Lafond)
On joue au jeu suivant. Il s’agit de trouver un nombre N $ \in [[1,299]]$.
On ne peut poser que des questions du type « N est-il plus grand que x ? ».
La réponse ne peut être que « oui » ou « non ». On peut poser au plus 12 questions avant de proposer une réponse. Mais on n’a droit qu’à un maximum de 3 réponses « non ». C’est-à-dire que si on a pour la troisième fois une réponse « non », on est obligé de proposer une réponse au coup suivant puis le jeu est terminé. Il est possible de gagner à coup sûr, mais la stratégie est unique ! En particulier quelle doit être la première question ?

Solutions de Laurent Chéno (Lycée Dorian, Paris 11e), Michel Lafond (Dijon), Jean Lefort (Wintzenheim), Joël Payen (Gagny), Sophie Toursel (Lycée Fourcade, Gardanne)

Problème 488-3
Pour un entier n > 6, on note P(n) l’ensemble

$$\left\{ k\in [[1,n]] \ | \ pgcd(n,k)=1 \right\}.$$

Trouver les n pour lesquels les éléments de P(n) sont en progression arithmétique.

Solutions de Jean-François Mallordy (Romagnat), Giovanni Ranieri (Melun), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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