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  APMEP   Les problèmes du BV 498

Article du bulletin 498

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et solution des 491-1, 492-1, 492-2

Hochart Max

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 498 - 1 (Michel Lafond (Dijon))

Un entier naturel est dit « quarrable » s’il est la somme des chiffres d’un carré parfait (en base 10). Par exemple, l’entier 22 est quarrable puisque

$$22=5+4+7+6 \ \ \ \ \text{et} \ \ \ \ 5476=74^2$$

Caractériser la suite (0, 1, 4, 7, 9, 10, 13, …) des entiers quarrables.

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Problème 498 - 2 (Georges Kocher (Ravières))

Pour trois réels strictement positifs a, b, c dont la somme vaut 1, prouver l’inégalité

$$\left( 1+\frac{1}{a}\right)\left( 1+\frac{1}{b}\right)\left( 1+\frac{1}{c}\right)\le 64$$

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Problème 498 - 3

Tout polynôme non nul a-t-il toujours un multiple qui soit polynôme en $X^{1000000}$ ?

L’énoncé qui suit m’a été signalé par Fernand Canonico (Clermont-Ferrand) et Laurent Germa (Orcines). Je les en remercie vivement.

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Problème 498 - 4

Soit a, b deux réels, avec a < b.
On considère une application f : [a, b] $\rightarrow \mathbb C$ dérivable sur le segment [a, b]. On note D l’image du segment [a, b] par l’application dérivée f’, et C désigne l’enveloppe convexe de D. Montrer que le rapport $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ appartient à l’adhérence de C.

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Solutions des problèmes antérieurs

Problème 491 - 1

Soit F la suite de Fibonacci définie par $F_0= 0, F_1= 1 \text{ et } F_{n+2}= F_{n+1}+ F_n$.
Montrer que pour n ≥ 1, $\prod_{k=1}^n F_k \le \frac{1}{n!}\exp(F_{n+4}-2n-3)$.

Solution de Robert Bourdon (Tourgeville) et de Jean-Claude Carréga (Lyon)

Problème 491-2 (Question de Fernand Canonico)

Soit P un polynôme complexe de degré n ≥ 1. Pour $\omega \in \mathbb C$ , soit $v_\omega$ le nombre de solutions complexes de l’équation $P(z) =\omega$. Montrer que

$$\sum_{\omega \in \mathbb C} (n-v_\omega)=n-1.$$

Solutions d’Alexandre Benchaouine (Chamalières), de Jean-Claude Carréga (Lyon), de George Lion (Wallis) et d’Éric Oswald (Borgo)

Problème 492-1

Trouver tous les polynômes complexes P tels que si |z| = 1 alors |P(z)| = 1.

On peut résoudre ce problème par la simple résolution d’un système. C’est ce que proposent Éric Oswald et Pierre Renfer. On note $\mathcal U$ l’ensemble des nombres complexes de module 1. Soit P $\in \mathbb C$ [X] tel que $P( \mathcal U ) \subset \mathcal U$

Solutions de Raymond Heitz (Lavergne), Éric Oswald (Borgo), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Lazare Georges Vidiani (Fontaine Les Dijon)

Raymond Heitz affirme [1] qu’un polynôme P solution au problème doit vérifier P(0) = 0. On écrit donc $P(X) = XP_1(X)$ et $P_1$ vérifie la même propriété, mais est de degré strictement inférieur. En itérant le phénomène, on arrive à

$$P(X) = XP_1(X) = X^2 P_2(X) = … = X^n P_n(X)$$

où $P_n$ est un polynôme constant, nécessairement un complexe de module 1.

Problème 492-2 (Question de Michel Lafond)

Soit P et Q deux polynômes réels du second degré. On suppose que les suites $(P(n))_{n \in \mathbb N^*}$ et $(Q(n))_{n\in \mathbb N^*}$ sont strictement croissantes et sans terme commun. On intercale ces deux suites pour obtenir la suite u = (1, 2, 8, 10, 18, 25, 32, 46, …).

  1. Calculer $u_{1000}$
  2. Donner un équivalent de $u_n$ quand n tend vers +∞.

Solutions de Maurice Bauval (Versailles), Richard Beczkowski (Chalon sur Saône), Bernard Collignon (Coursan), Michel Lafond (Dijon), Éric Oswald (Borgo) et Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] Son argument est basé sur la propriété de la moyenne. Comme le demande lui même Raymond Heitz dans sa lettre, « est-ce vraiment rigoureux ? ». J’avoue ne pas être convaincu par cet argument (mais ne demande qu’à l’être).


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