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Article du bulletin 507

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Et solutions des 496-4, 498-2, 498-4

Hochart Max

- 7 septembre 2016 -

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 507-1 (Michel Lafond (Dijon))
On dispose de n quilles (n ≥ 2) alignées tous les 15 cm. Un joueur adroit a une boule de 20 cm de diamètre. Il lance sa boule au hasard, tant que c’est possible, entre deux quilles consécutives encore debout et les renverse. Il renversera donc au plus $\frac{n}{2}$ paires de quilles. Soit $X_n$ le nombre de paires de quilles renversées et $E_n= E(X_n)$ son espérance mathématique. Démontrer que lorsque n tend vers l’infini, la quantité $\frac{E_n}{n}$ admet une limite finie

$$L = 0,432332358381693654053000252513… ?$$

Est-ce un hasard si

voir l’article où est publiée une solution

Problème 507-2 (Franck Gautier (Pérignat les Sarlièves))
Soit P un polynôme a coefficients réels de degré $n \in \mathbb N^*$. Pour $k \in \mathbb N $, on note $P^{(k)}$ la derivée k-ième de P. On suppose que pour tout $i \in [[1; n - 1]]$, il existe $a_i \in \mathbb R$ tel que

$$P^{(i)} (a_i) = P(a_i).$$

Trouver le polynôme P.

Problème 507-3 (Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg))
Soit, dans un plan, deux cercles $\mathcal{C_1}$ et $\mathcal{C_2}$ de centre $O_1$ et $O_2$. Les cercles $\mathcal{C_1}$ et $\mathcal{C_2}$ sont sécants en A et B. Soit Q un point du plan, non situé sur l’un des deux cercles. À un point $P_1$ du cercle $\mathcal{C_1}$, on associe le point $P_2$ du cercle $\mathcal{C_2}$, intersection autre que A avec le cercle passant par les points $P_1$, A et Q (si ce cercle est tangent en A, on prendra $P_2= A$). Au point $P_2$, on associe le point $P_3$ du cercle $\mathcal{C_1}$ intersection autre que B avec le cercle passant par $P_2$, B et Q (si le cercle est tangent en B, on prendra $P_3= B$). Puis l’on recommence avec $P_3$ auquel on associe le point $P_4$ de $\mathcal{C_2}$, intersection autre que A avec le cercle passant par A, $P_3$ et Q, etc. (figure 1).

1. Démontrer que si les cercles $\mathcal{C_1}$ et $\mathcal{C_2}$ sont orthogonaux, la suite des points $P_1P_2P_3$… se referme au plus tard en $P_5$ (c’est-a-dire que $P_5= P_1$).

2. Dans le cas général, démontrer que la suite de points $P_1P_2P_3$ … se referme sur $P_1$, (c’est-à-dire qu’il existe un entier $n \in \mathbb N^*$ tel que $P_n= P_1$) si et seulement si l’angle $\widehat{O_1AO_2}$ est commensurable à $\pi$.

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 496–4

Pour un entier $n _in \mathbb N$* et des réels $x_1, ... ,x_n$, simplifier la somme ci-dessous :

$$ \sum_\limits{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \sum_\limits{1 \le i_1 < i_2 < .... < i_k \le n} \min (x_{i_1}, ... x_{i_k})$$

Réponses de Bernard Collignon (Coursan), Michel Lafond (Dijon), Francois Couloignier (Tarbes), Paul Pechoux (Valdoie), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

Voici par exemple la solution de Francois Couloignier.

Problème 498 - 2 (Georges Kocher (Ravières))

Pour trois réels strictement positifs a, b, c dont la somme vaut 1, prouver l’inégalité

$$\left( 1+\frac{1}{a}\right)\left( 1+\frac{1}{b}\right)\left( 1+\frac{1}{c}\right)\le 64$$

Réponses de Maurice Bauval (Versailles), Michel Bataille (Rouen), Georges Kocher (Ravières), Benoît Fourlegnie, Michel Lafond (Dijon), Georges Lion (Wallis), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

Voir une solution

Problème 498 - 4

Soit a, b deux réels, avec a < b.
On considère une application f : [a, b] $\rightarrow \mathbb C$ dérivable sur le segment [a, b]. On note D l’image du segment [a, b] par l’application dérivée f’, et C désigne l’enveloppe convexe de D. Montrer que le rapport $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ appartient à l’adhérence de C.

Réponse de Georges Lion (Wallis).

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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