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  APMEP   Les problèmes du BV 508

Article du bulletin 508

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Et solutions des 498-1, 498-3, 499-2, 500-1

Hochart Max

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 508-1
On considère une application f : $\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ qui envoie tout segment de $\mathbb R$ sur un segment de même longueur. Trouver f.

voir l’article où est publiée une solution

Problème 508-2 (Isao Sauzzede, élève en MP à Clermont-Ferrand)
Soit $E = \mathcal C$ ([0 ; 1], $\mathbb R$ ) l’ensemble des applications réelles continues sur [0,1]. On définit une application $\tau$ : $E \rightarrow E$ de la façon suivante : pour $f \in E$,

$$ \tau (f) = \left| f- \int_{0}^{1} f(t)dt \right |. $$

Pour $n \in mathbb N$, on note $\tau^n$ la fonction $\tau$ itérée n fois $\tau \circ \tau \circ \tau \circ... \tau$ . Pour $f \in E$, étudier la convergence (simple, uniforme) de la suite de fonctions $(\tau^n (f))_{n \in \mathbb N}$

Problème 508–3 (Ayoub Bourich, École Centrale de Lyon)
Trouver tous les nombres premiers p tels qu’il existe une matrice A de taille 2 $\times$ 2, à coefficients dans $\mathbb Z$ , telle que

$$A +A^2 + ... + A^p= pI_2 \ \ \ \ \ \ \text{et} \ \ \ \ \ \ A \ne I_2$$

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 498 - 1 (Michel Lafond (Dijon))

Un entier naturel est dit « quarrable » s’il est la somme des chiffres d’un carré parfait (en base 10). Par exemple, l’entier 22 est quarrable puisque

$$22=5+4+7+6 \ \ \ \ \text{et} \ \ \ \ 5476=74^2$$

Caractériser la suite (0, 1, 4, 7, 9, 10, 13, …) des entiers quarrables.

Solutions de Richard Beczkowski (Chalon sur Saône), Michel Lafond (Dijon),Pierre Renfer (Saint Georges D’Orques)

Problème 498 - 3

Tout polynôme non nul a-t-il toujours un multiple qui soit polynôme en $X^{1000000}$ ?

Solution de Benoît Joly (élève de l’ENS Lyon), Raymond Heitz (Lavergne), Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques)

La réponse est oui.

Voici une solution très élégante, proposée par Benoît Joly

Problème 499 - 2 (Xavier Reliquet (Paris))
Tout sous-corps de $\mathbb C$ est-il stable par conjugaison ?

Solution de Xavier Reliquet (Paris), Georges Lion (Wallis) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orque)

Problème 500 - 1

Soit f : [0, 1] $\rightarrow \mathbb{R}$ continue, telle que $\int_0^1 f(t)dt=0$. Montrer qu’il existe $x \in ]0, 1[$ tel que $\int_0^x tf(t)dt=0$

Solution de Michel Bataille (Rouen), Georges Lion (Wallis), Moubinool Omarjee (Lycee Henri IV, Paris), Michel Quercia, Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orque), Raphael Sinte (Lycée Frederic Chopin, Nancy), Lazare-Georges Vidiani (Fontaine Les Dijon)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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