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  APMEP   Les problèmes du BV 510

Article du bulletin 510

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Et solutions des 502-2, 502-3, 502-4

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 510-1 (Michel Bataille, Rouen)
Soit ABC un triangle rectangle en A, non isocèle. Trouver la valeur minimale de PA lorsque P est un point intérieur au triangle tel que

$$\frac{PA}{\sin \alpha}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{PB}{\sin \beta} \frac{PC}{\sin \gamma}} $$

$$\alpha=\widehat{BPC}, \beta=\widehat{CPA}, \gamma=\widehat{APB}$$

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Problème 510-2
Soit $n \in \mathbb N^*$. On se donne n réels $x_1, …, x_n$, tous distincts. Montrer que pour tout réel $q\in \mathbb R - \{-1,0,1 \}$

$$ \sum_{k=1}^{n} \prod_{j \ne k} \frac{qx_k-q^{-1}x_j}{x_k-x_j}=\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}$$

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Problème 510–3 (Michel Lafond, Dijon)
Un couple d’entiers (p, q) avec $2 \le p \le q$ est dit générateur si tout entier naturel peut s’écrire sous la forme $\lfloor a\sqrt p \rfloor +\rfloor b \sqrt q \rfloor$ avec $a, b \in \mathbb N$ et où $ \lfloor \rfloor $ désigne la partie entière.
Démontrer que les couples (2, 9) et (3, 3) sont générateurs puis trouver tous les couples générateurs.

voir l’article où est publiée une solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 502–2 (Michel Lafond (Dijon))
Soit p et q deux entiers premiers entre eux et impairs. Un damier rectangulaire $p \times q$ a ses cases colorées alternativement en noir et blanc, les quatre coins étant noirs. Une diagonale $\Delta$ est tracée. Une partie de $\Delta$ est noire, l’autre est blanche. Démontrer que la proportion de noir le long de D est égale à $\frac{1}{2} \left ( 1+ \frac{1}{pq} \right )$

Solutions de Michel Lafond (Dijon) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques).

Problème 502–3 (Jean-Claude Blanchard (Brunoy))
Pour $n \in \mathbb N$, calculer le pgcd de $2^n + 3^n$ et de $5^n$.

Solutions de Jean-Claude Blanchard (Brunoy), Jean-Claude Carrega (Lyon), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Raymond Heitz (Piriac), Michel Lafond (Dijon), Jean-Christophe Laugier (Rochefort), Georges Lion (Wallis), Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques), Vincent Thill (Migennes), Lazare-Georges Vidiani (Fontaine Les Dijon).

L’auteur de cette question, Jean-Claude Blanchard, propose ensuite une généralisation : soit r un nombre premier impair et p, q des entiers naturels strictement positifs tels que p + q = r. En notant k la valuation r-adique de n, à savoir l’entier maximal tel que $r^k$ divise n, on va montrer que si n est pair, alors

$$\left( p^n+q^n \right) \wedge r^n=1$$

tandis que si n est impair

$$\left( p^n+q^n \right) \wedge r^n=r^{k+1}$$

Généralisation

Problème 502–4 (G.L. Kocher, Ravières)
On suppose que le trinôme $ax^2 + bx + c$ possède deux racines réelles distinctes. En déduire les solutions de l’équation

$$a(ax^2+(b+1)x+c)^2+b(ax^2+(b+1)x+c)+c-x=0$$

Solutions de Lazare-Georges Vidiani (Fontaine Les Dijon), Georges Kocher (Ravières), Raymond Heitz (Lavergne)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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