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  APMEP   Les problèmes du BV 512

Article du bulletin 512

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Et solutions du 500-2

- 28 novembre 2016 -

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 512-1 (Michel Lafond (Dijon))
Le nombre N ! écrit en base dix se termine par un huit suivi d’exactement mille zéros.
Que vaut N ?

voir l’article où est publiée une solution

Problème 512-2
Dans le probleme 21 posé dans un bulletin vert en 2006, on démontre que les solutions rationnelles de l’équation $x^y = y^x$ avec x < y sont données par

$$x=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n \text{ et } y=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}$$

avec n $\in \mathbb N$. On pose

$$u_n=x^y=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}}$$

Montrer que la suite $(u_n)$ converge, déterminer sa limite et préciser si la convergence a lieu de façon monotone.

Problème 512–3
Soit $n \in \mathbb N^*$ et $S_n$ le groupe symétrique, à savoir l’ensemble des bijections de l’ensemble $[[1, n]]$ dans lui-même, muni de la loi de composition. Soit G un sous-groupe commutatif de $S_n$. On suppose que G agit transitivement sur $[[1, n]]$ : pour deux éléments x, y $\in [[1, n]]$, il existe g $\in$ G tel que g(x) = y. Trouver le cardinal de G. Quels sont les groupes que l’on peut ainsi réaliser (c’est-à-dire isomorphes à un tel sous-groupe G de $S_n$) ?

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 500 - 2 (Jean-Louis Trinquand (Clermont-Ferrand))

Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On extrait au hasard successivement et sans remise tous les jetons de l’urne. On note $t_i$ le numéro porté par le jeton obtenu au i-ième tirage. On note $x_i$ le plus petit nombre de séquences d’entiers consécutifs que l’on peut former en utilisant tous les entiers $t_1, …, t_i$.
On définit enfin une variable aléatoire X par

$$X=max\{x_i|i \in [[1,n ]] \} $$

Que dire d’icelle ?

Voici un exemple pour n = 8. Si on a alors

$$t_1 = 4, t_2 = 5, t_3 = 2, t_4 = 7, t_5 = 1, t_6 = 3, t_7 = 8, t_8 = 6,$$

alors

$$x_1 = card \{\{4 \}\}=1, x_2 = card \{\{4,5\}\} = 1, x_3 = card \{\{2 \} , \{ 4,5\}\} = 2,$$

$$x_4 = card\{\{2 \} , \{4,5\} , \{7\}\}= 3, x_5 = card\{\{1,2\} ,\{4,5\}, \{7\}\} = 3,$$

$$x_6 = card \{1,2,3,4,5 \} ,\{ 7 \}\} = 2, x_7 = card\{\{1,2,3,4,5\} , \{7,8\}\} = 2,$$

$$x_8 = card\{\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\} = 1.$$

Dans ce cas, X prend la valeur 3.

Une seule réponse m’est parvenue, celle de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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