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  APMEP   Les problèmes n°310 et 311

Article du bulletin 456

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Et solutions des problèmes 301 et 302

- 18 novembre 2016 -

Indications sur des énoncés déjà publiés

Énoncé 307 (peser avec une balance Roberval) :
3 poids suffisent pour M = 13 (on rappelle que les poids peuvent être placés sur les deux plateaux de la balance).

Énoncé 308 (composé de rotations axiales d’un tiers ou quart de tour) :
Que peut-on dire des grandes diagonales d’un cube ?

Énoncé 309 (triangle dont l’orthocentre est centre du cercle inscrit de ABC) :
Ce même point est l’orthocentre d’un autre triangle et le centre d’une similitude intéressante.

Énoncés des nouveaux problèmes

Énoncé n°310 (Michel LAFOND, 21-Dijon)
On dit qu’un entier $n \in \mathbb N^*$ est magique si on peut placer les entiers de 1 à n dans n cases d’un carré de côté c de manière que les c lignes, les c colonnes et les deux diagonales du carré aient toutes la même somme.
Démontrer que la suite croissante des entiers magiques commence par :

$$ \{ 1, 8, 9, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, …\}.$$

voir l’article où est publiée une solution

Énoncé no 311 (Pierre DUCHET et Jean MOREAU de SAINT-MARTIN, 75 - Paris)
Soit (Δ) une droite et O un point extérieur à la droite. On considère un nombre indéterminé de points $A_i$ de (Δ) tels que les cercles inscrits dans les triangles $OA_iA_{i+1}$ aient tous même rayon r. Démontrer que quel que soit k, les cercles inscrits dans les triangles $OA_iA_{i+k}$ ont tous même rayon $r_k$ (problème de l’ex-voto japonais).

voir l’article où est publiée une solution

Solutions des problèmes antérieurs

Énoncé n° 301 (Michel BATAILLE, 76-Rouen)
Soient $\alpha, \beta$ et $\gamma$ les angles d’un triangle. Quelles sont les fonctions continues $f : ]0;\pi[ \rightarrow ]0; + \infty[$ vérifiant pour tout triangle :

$$f(\alpha) \cdot f(\beta) \cdot f(\gamma)=f(\alpha)+f(\beta) +f(\gamma) ?$$

Solution

Énoncé n° 302 (Ivan RIOU, 17-La Rochelle)
On dispose de 101 pièces d’or, toutes de masses strictement positives (non nécessairement rationnelles entre elles). On suppose que : à chaque fois que l’on enlève une pièce au tas, on peut diviser le tas obtenu en deux sous-tas de 50 pièces tels qu’ils aient la même masse.
Prouver que toutes les pièces ont la même masse.

Solution

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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