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  APMEP   Les suites de Goodstein ou la puissance du détour par l’infini

Article du bulletin 498

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Artigue Michèle ; Arzarello Ferdinando

Résumé de l’article

Ce texte provient d’une préparation d’une vignette Klein.
Contrairement aux suites étudiées dans l’enseignement secondaire, dont les croissances sont polynomiales, exponentielles ou logarithmiques, certaines suites ont des comportements complexes.
Cette vignette présente des suites dont la croissance est d’abord extrêmement rapide, puis elles finissent par devenir décroissantes et tendent vers 0. La preuve de ce résultat nécessite une généralisation du raisonnement par récurrence à des ordinaux infinis. Elle nécessite l’introduction des suites faibles de Gooldstein qui utilisent la décomposition des nombres en somme de puissances de 2, puis de 3, puis de 4, etc.
Cet exemple est instructif, non seulement du point de vue logique, mais parce qu’il montre les limites de l’intuition

Plan de l’article

  • 1. Les suites faibles de Goodstein
  • 2. Ordinaux et bon ordre
  • 3. La preuve de la convergence vers 0 des suites faibles de Goodstein
  • 4. Les suites de Goodstein
  • 5. Quelques leçons à tirer de cet exemple
  • Références

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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