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  APMEP   MÉTHODES & TECHNIQUES GÉOMÉTRIQUES à propos de la droite de Newton

Article du bulletin 453

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Henri Bareil

par Jean-Louis AYME.
Éd. Ellipses. Co-diffusion APMEP : cf. plaquette « VISAGES … » p. 44.

Brochure de 156 pages en 16,5 × 26, en noir et blanc. Présentation claire, dessins abondants. Table des matières détaillée (3 pages).
Bibliographie intéressante (sauf pour le Coxeter-Greitzer référé à une édition anglaise alors qu’il existe en français chez Gabay).
Index (2 pages).
N° ISBN : 2-7298-1585-6

Un projet ambitieux : démontrer un alignement remarquable par des méthodes multiples jalonnant l’histoire de la géométrie.
L’auteur, que l’on sait excellent géomètre, s’y est attaqué à propos de la « droite de Newton  » d’un triangle ABC :
« Une transversale coupant (BC), (CA), (AB) respectivement en P, Q, R, les milieux respectifs I, J, K de [AP], [BQ] et [CR] sont alignés ».

Les six points A, B, C, P, Q, R sont les sommets d’un « quadrilatère complet » et le théorème précédent s’énonce alors : « les milieux des trois diagonales d’un quadrilatère complet sont alignés ».

Ici survient le plus étonnant  : Jean-Louis Ayme nous offre TRENTE démonstrations différentes couvrant cinq grands domaines de la géométrie. Les voici, après un Chapitre I, très intéressant, de « Présentation » :
Chapitre II. « La Méthode synthétique » (i.e. la géométrie la plus « grecque ») : dix démonstrations, du théorème de Thalès, ou du parallélogramme de Varignon, … à des techniques utilisant Pappus, Ménélaüs, Céva, …
Chapitre III. « La Méthode analytique », avec trois « techniques », la troisième utilisant les complexes.
Chapitre IV. « La Méthode projective » : six démonstrations qui nous séduisent, de Poncelet à Möbius, en passant par Von Staudt, Plüker, les barycentres, …
Chapitre V. « La Méthode des transformations » : quatre démonstrations (Euler-homothétie ; de Longchamps avec points isotomiques, ménéliennes réciproques et groupe des homothéties-translations ; involution avec homographies de pinceaux ; polaires réciproques et faisceaux de coniques).
Chapitre VI. « La Méthode vectorielle » : sept démonstrations, d’une « technique des milieux » à Bellavitis, Grassmann, aux produits scalaire et vectoriel…

• LE TOUT EST ÉBLOUISSANT !
– Il n’ y a pas TRENTE démonstrations, mais des centaines avec une foule de théorèmes et de résultats annexes…
Non seulement les grands savoirs sont mobilisés, mais aussi des méthodes générales (immersions de la configuration étudiée dans des configurations plus vastes, utilisation de figures auxiliaires, de lieux géométriques, …) et tous les types de raisonnement
– Le bain géométrique est sensationnel… Voici, à travers ces dizaines et dizaines d’études, une histoire vivante de la géométrie, parsemée d’une pléiade de noms de découvreurs … chaque fois situés en leur temps.

Des lycéens des Terminales scientifiques seront à même d’apprécier une bonne partie du livre. Les candidats aux Capes et aux Agrégations y trouveront partout de quoi s’alimenter ! Et les enseignants de mathématiques, qu’ils s’attaquent ou non à tout, ont de quoi s’y régaler et s’y ressourcer en un plaisir sans cesse renouvelé, l’ouvrage gagnant à être dégusté peu à peu, en prenant son temps d’une méthode à une autre…

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)
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