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  APMEP   Mathématiques constructives

Article du bulletin 483

Henri Lombardi

Résumé de l’article

Au tournant du 20ième siècle, les mathématiques sont devenues "ensemblistes"(à la Cantor) et non constructives, notamment sous l’impulsion de Hilbert. Elles ont connu un développement extraordinaire dans ce cadre, au prix de perdre une partie de leur substance. Le programme de Hilbert et celui de Poincaré pour remédier à cette perte de sens sont un peu tombés dans l’oubli. On a même pensé un moment que le théorème d’incomplétude de Gödel vidait le programme de Hilbert de sa pertinence, alors qu’il en déplaçait seulement la perspective.La critique du principe du Tiers Exclu par Brouwer n’a été pleinement appréciée à sa juste valeur que récemment. Le livre d’Erret Bishop, Foundations of constuctive analysis paru en 1967, a montré quelles merveilles on pouvait obtenir par la prise en compte systématique de la critique de Brouwer. Aujourd’hui mathématiques classiques et constructives sont presque réconciliées, comme le montre le livre de Gilles Dowek Les mathématiques du calcul (2007). L’objet de la conférence est de développer ce survol historique et d’expliquer le renouveau actuel du point de vue constructif.

Un article abordant les mêmes thèmes que cette conférence a été publié dans larevue Repères-IREM en janvier 2003 ([Programme de Hilbert]). Un site web intéressant sur le sujet est le site du groupe MAP (Mathematics, Algorithms and Proofs) http://www.disi.unige.it/map/

Plan de l’article

  • Le principe de base et le point de rupture
  • La question de l’infini mathématique chez les Grecs
    • Un paradoxe de Zenon
    • La diagonale du carré
    • La théorie des rapports de grandeurs
  • La grande controverse
    • Cantor et les paradoxes
    • Le programme de Poincaré
    • Brouwer et le Principe du Tiers Exclu
    • Théorème de la halte des programmes : on ne peut pas tout savoir
    • Gödel
  • La nouvelle donne
    • Bishop
    • Vers la réconciliation
  • Conclusion
  • Références

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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