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  APMEP   Modélisations dynamiques avec le tableur
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- 19 mai 2007 -

Philippe Langenaken [1]

Dans les études supérieures de type économique, les calculs d’optimisations sont nombreux. Par ailleurs, les problèmes économiques sont fréquemment illustrés par des tableaux de données et des graphiques. Pour s’en convaincre, il suffit de parcourir une revue spécialisée ou les pages éco des quotidiens.

Mais nos étudiants qui abordent la première des cinq années d’études dans notre école de commerce ont souvent, pour seul bagage mathématique, des connaissances de formules et de routines de calcul qui leur ont permis dans l’enseignement secondaire de résoudre des exercices types aux données parfois simplistes. Il leur manque une « culture » graphique qui devrait leur permettre de mieux appréhender l’applicabilité des objets mathématiques aux problèmes que leurs études leur feront rencontrer.

Les recherches d’extremums sont difficiles à faire passer. Les étudiants ne voient pas bien ce qu’ils font, ils calculent souvent en automates en confondant les notions : valeurs de x et de f (x), sens des extremums, ils omettent les calculs aux bornes des domaines, … Il est vrai que les outils didactiques classiques (tableau et craie, calculatrice) ne permettent d’effectuer des représentations qu’en un temps assez long.

Concepteurs d’un gros cours en ligne de 90 heures par année, nous avons été amenés à nous poser la question de l’utilisation par nos étudiants des ressources mêmes de l’ordinateur sur lequel ils apprennent, leur permettant d’acquérir peut-être plus aisément les notions mathématiques par des manipulations dynamiques.

Nous avons montré lors de l’atelier « Visualisations de cas d’optimisations » à Caen en octobre 2005 quelques réalisations, dont des approximations de dérivées de fonctions et une approche graphique de la recherche de coût unitaire minimum. Nous détaillons ici un exercice de modélisation qui permet de redécouvrir par la pratique diverses propriétés des études de fonctions et des calculs d’extremums.

Cette application utilise à fond la puissance de calcul de l’ordinateur : nous y verrons qu’une variation dynamique d’un paramètre engendre le recalcul de milliers de valeurs en une fraction de seconde.

1. Concepts fondamentaux.

11. Tables de mortalité Les tables de mortalité sont créées à partir des taux de mortalité par âge x qu’on notera $q_x$, mesurés à partir des données démographiques. On en déduit des tables de survie qui reprennent les effectifs de population théoriques $l_x $par âge x sur base d’une population initiale donnée (en général 100 000 ou 1 000 000), avec

$l_{x+1}=l_x(1-q_x)$

On trouve ainsi sur le site de l’INED [2] latable de mortalité française 2000-2002. Les analyses se basent sur deux ans, entre deux dates anniversaires de l’échantillon :

On introduit le taux de survie $p_x$ à l’âge x tel que

$p_x+q_x=1$

ce qui nous donne :

$l_{x+1} = l_x.p_x$

1.2. Modèles
La modélisation des tables de mortalité a pour but de donner une base théorique permettant aux assureurs de calculer leurs risques : risques pour l’assurance-vie ou pour l’assurance-décès.
La plupart des modèles se basent sur des hypothèses simplificatrices qui permettent de faciliter les calculs en omettant certains paramètres négligeables ou difficilement traitables dans la recherche de fonctions continues qui « collent » le mieux aux expérimentations.
On fera entre autres ici l’hypothèse de statique : dans le modèle, le taux de survie devient une probabilité de survie, et la probabilité de survie pendant un an dans k ans pour quelqu’un d’âge x aujourd’hui est égale à la probabilité de survie pendant un an de quelqu’un âgé aujourd’hui de x + k ans. x Les données des tables de mortalité mènent à des modèles de fonctions de survie que nous noterons L(x). Il existe plusieurs modèles utilisés. Nous en détaillerons un ci-dessous.

1.3. Taux instantané de décès
Pour un modèle de fonction de survie continue L(x) à l’âge x, nous pouvons introduire le taux de décès instantané à l’âge x défini comme suit :

$ \mu(x)= \ lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\frac{L(x)-L(x+\Delta x)}{\Delta x}}{L(x)} $

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[1] Haute École Francisco Ferrer – IREM de Bruxelles. philippe.langenaken@brunette.brucity.be

[2] Institut national d’études démographiques Q(x ; x + 1) vaut $q_x.10^{5}$  ; $E_x$ est l’espérance de vie à l’âge x.


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