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Nombres complexes en terminale S

- 4 juillet 2011 -

J’ai utilisé la fiche ci-après en classe de Terminale S, en séance de TP (donc en demi-classe), comme activité d’introduction.
Mon idée directrice était de m’appuyer sur l’histoire des mathématiques pour montrer en quoi chacune la notion était une réponse à un problème.
La fiche présente le problème historique, et pose des questions qui amènent les élèves à calculer et raisonner.
Il ne s’agit pas de travail autonome : la présence du professeur est indispensable, il intervient quand c’est nécessaire, notamment quand la fiche a volontairement passé sous silence un élément essentiel pour ne pas tuer le plaisir de la découverte.

Introduction des nombres complexes

En fin de fiche, la démarche de Bombelli n’est pas décrite, pour ne pas tuer la jubilation de la découverte. Je me réserve la mise en scène du dernier acte : "$ \Delta = - 484 $ : c’est négatif, la formule de Cardan ne marche pas !
Mais Bombelli ne manque pas de culot : imaginons, dit-il, un nombre sophistique (farfelu) dont le carré serait égal à –1. Appelons le i, et amusons-nous avec. Calculons par exemple $(22i)^2, (2+i)^3, (2-i)^3.$
Ces calculs permettraient d’appliquer la formule de Cardan à l’équation considérée.
Surprise : à la fin du calcul, i disparaît, et on trouve 4 !
Est-ce que 4 est bien solution ? Mais oui !
Donc ce calcul qui n’a aucun sens nous a conduit à la solution !
Pendant tout le 17e et le 18e siècle, ces nombres "imaginaires" vont permettre des découvertes étonnantes (par exemple ils permettront à Euler d’établir un lien entre l’exponentielle et la trigonométrie !).
Au 19 e siècle on va réussir à leur donner un sens, en disant : certes il n’y a pas de nombre réel dont le carré soit négatif (pourquoi, au fait ?) ; mais rien n’interdit d’inventer d’autres nombres pour enrichir l’ensemble des nombres réels, de sorte qu’il y en ait dont le carré soit un nombre réel négatif."

La fiche-élève : De la résolution des équations à l'invention des nombres complexes.

Bibliographie : Images, Imaginaires, Imaginations, une perspective historique pour l’introduction des nombres complexes.

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