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  APMEP   Orthocentre, cercle d’Euler et hyperbole équilatère

Article du bulletin 487

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Jean Pierre Friedelmeyer , Marc Roux

Résumé de l’article

L’orthocentre d’un triangle et l’hyperbole équilatère ont encore leur place au lycée, très réduite pour la 2ème. Le cercle d’Euler a, lui, totalement disparu des programmes. L’objet de l’article est de présenter leur remarquable conjugaison dans quelques propriétés géométriques pour lesquelles chacun joue un rôle spécifique. Une première partie fait l’étude géométrique de l’hyperbole équilatère donne sa construction point par point et après les propriétés des cordes, viennent le triangle inscrit dans une hyperbole, le cercle d’Euler et l’orthocentre d’un triangle inscrit. La seconde partie met ce qui précède à la portée des lycéens, sous la forme d’activités de géométrie analytique, en restant le plus près possible des programmes actuels. Des travaux dirigés sont proposés à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

Plan de l’article

  • Première partie : étude géométrique
    • 1. Une définition géométrique de l’hyperbole équilatère
    • 2. Construction point par point de (H)
    • 3. Équation de (H)
    • 4. Propriétés des cordes d’une hyperbole équilatère
    • 5. Cas de deux cordes perpendiculaires
    • 6. Construction de la tangente en un point de l’hyperbole équilatère
    • 7. Une autre construction de l’hyperbole point par point
    • 8 . Triangle inscrit dans une hyperbole équilatère et cercle d’Euler
    • 9. Orthocentre d’un triangle inscrit
    • 10. Application : hyperbole équilatère passant par quatre points
  • Seconde partie : travaux dirigés et problèmes – Terminale S
  • Bibliographie

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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