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  APMEP   POUR UN SUIVI EN ARITHMÉTIQUE DE LA TROISIÈME À LA TERMINALE (Spécialité)

Article du bulletin 463

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Henri Bareil

par le groupe Second Cycle de l’IREM de Toulouse, éditeur (Université Paul Sabatier, 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cédex).

Coordinateurs : Bernard Destainville & Sophie Dupuy-Touzet.

90 pages en A4. Impression très claire. Une courte (et bonne) bibliographie. Des Annexes (suivi des notions arithmétiques au long des programmes ; des sujets ; des éléments des tests posés ; des corrigés pour les rares exercices non traités auparavant).

Pas de n°ISBN.

Prix (à perte !) : 3 € (+ 3 € de port).

• Un « PRÉLIMINAIRE  » vante les vertus de l’arithmétique. (J’y souscris absolument ! Rien de tel, à partir d’énoncés simples, pour intéresser aux divers « huit moments d’une démarche scientifique » !). De plus la brochure veut « illustrer en quoi et comment l’arithmétique peut être un outil pour progresser en algèbre et en géométrie ».

L’INTRODUCTION (2 pages) précise les objectifs propres à chaque partie de l’ouvra- ge.

PARTIE 1. CONSTATS (21 pages) … dont celui d’une « suite chaotique » du Collège aux bacs ! Sont analysés deux tests :
PREMIER TEST, à mi-décembre, puis en début d’année en Seconde, aussi en Troisième, à propos d’une recherche et d’une utilisation « concrète » de PGCD. Ce qui montre la prévalence « d’un automatisme sans perception réelle de l’utilité ». Les auteurs font des propositions d’amélioration…
DEUXIÈME TEST, classe de Première S, « Avec $n \in \mathbb N, 1 + 3^n$ est-il toujours pair ? ».
Très intéressante analyse des réponses et des ratés (référés au langage, au statut des nombres, aux dénaturations de théorèmes par oubli d’une condition, au rôle des exemples, …).
Viennent ensuite près de 7 pages de « Pratique arithmétique » (niveau Collège, plus congruences), avec de jolis exercices traités – ainsi pour chercher les restes de la division par 7 de $ 2 002^n$ (des marches d’escalier sont proposées. À chacun d’en user ou pas !) –, de claires mises au point (sur « analyse-synthèse », …) et une valorisation méthodique de la réflexion (ainsi pour éviter d’appliquer des méthodes algébriques générales à des équations du second degré sur des entiers).

PARTIE 2. LES RAISONNEMENTS EN ARITHMÉTIQUE (13 pages).
1. En « sensibilisation » le problème du second test cité ci-dessus est abordé de façon multiple : raisonnements exhaustif, par récurrence, par l’absurde, avec des congruences, … et, pour finir, par une jolie remarque de parité « $3^n + 1$ et $3^n − 1$ ont même parité. Or $3^n − 1$ relève d’un premier facteur 3 − 1. D’où … ».
2. Présentation systématique des différentes formes de raisonnement mises en œuvre dans les problèmes d’arithmétique avec, pour chacune, de trois à six exemples. En voici un, l’exemple 3, de résolutions par contraposée : « Si deux entiers a et b ne sont pas premiers entre eux, alors il n’existe pas deux entiers x et y tels que ax + by = 1 » (préparation au théorème de Bézout…). « Éléments de solution : S’il existe x et y tels que ax + by = 1, alors le PGCD de a et b divise 1. Il est donc 1 et a et b sont premiers entre eux ».

PARTIE 3. DES ALGORITHMES EN ARITHMÉTIQUE (10 pages) … pour ranger, comparer, tester une primalité, rechercher un pgcd (avec trois applications, dont un « calcul des coefficients de Bézout » à mon avis difficile…).

PARTIE 4. DES PROBLÈMES POUR AMÉLIORER LA SITUATION (17 pages).
Un éventail très dense, du Collège au Lycée.
On y trouve des exercices « de parité », les triplets pythagoriciens, des semi-classiques (problèmes de seaux – avec Bézout et Gauss –, d’escaliers, d’Euler (sur une caravane), un « Bézout » « à l’usage des gardes du Pavillon de la Marine, …), avec une mention spéciale sur la «  reconnaissance d’une situation arithmétique » (Troisième, …) ainsi pour les âges de trois filles sachant que leur somme est 13 et leur produit 36 (l’un des âges, et un seul, est impair, ce qui allège une raisonnement exhaustif…).

MA CONCLUSION :
La brochure met systématiquement en valeur les diverses méthodes fondamentales utiles en arithmétique.
Elle les illustre par un fourmillement d’exemples de tous niveaux fort bien traités.

Là voilà donc propre à contribuer, sans prétention mais excellemment, au « Suivi » dont parle le titre. Excellent outil, elle est, de plus, agréablement rédigée. Une jolie brochure, vraiment !

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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