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  APMEP   Pour un enseignement problématisé des mathématiques au lycée

Article du bulletin 446

Brochures n°150 et 154

Henri Bareil

Deux tomes, par le groupe de travail APMEP « Problématiques au lycée », animé par Régis GRAS, avec Philippe BARDY, Bernard PARZYSZ, Michèle PÉCAL, Jean-Pierre RICHETON. Des « Introductions » conséquentes, une préface de Jean-Pierre KAHANE.

N°150 (216 pages) ISBN : 2-912846-26-9. Prix (port en sus) : 14 € , adhérent : 10 € .

N°154 (176 pages) ISBN : 2-912846-30-7. Prix (port en sus) : 10 € , adhérent : 7 € .

LES DEUX TOMES ENSEMBLE. Prix public : 21 € , adhérent : 15 € , plus port, actuellement estimé, France métropolitaine, CEE et pays assimilés : 4,80 € ; autres pays : frais réels sur facture.

Annoncé en page 7 de la plaquette « VISAGES 2002-2003 DE L’APEMP », sous le n°150, ce travail a vu sa parution retardée par la difficulté pour un bénévole qui s’y consacre pourtant à plein temps (sans vacances …) de maquetter toutes les brochures APMEP de 2002-2003…
À noter que ce bénévolat permet de bas prix pour nos brochures… Merci, Jean !]. Voici ce travail, maintenant, sous la forme de deux brochures en partance chez l’imprimeur début juin…

• Les auteurs ont poursuivi, pour le Lycée, un travail de même type sur le Collège : il avait donné lieu, en 1985, à un BGV spécial et à un fascicule en A5. Non réédités et devenus introuvables, ces textes figureront dans un prochain Cédérom sur les positions APMEP des dernières décennies.

• Il s’agit, chaque fois, « de formuler des propositions précises quant à la méthode de conception ou de lecture d’un programme qui veut se construire, de façon originale, à partir de grandes classes de problèmes : dix “ problématiques ”, qui inscrivent objectifs, compétences et contenus plus en système qu’en une suite éclatée de chapitres du cours. Les contenus doivent apparaître comme une issue et un moyen incontournable pour résoudre des problèmes significatifs et non comme une fin en soi. Ce travail, effectué (avec, aussi, quelques moyens INRP) par le groupe APMEP “ Problématiques Lycée ” s’est renforcé par des réflexions, travaux et expérimentations mis en œuvre dans le groupe APMEP “ Prospective Bac ” qui visait lui-même un renouvellement du contenu et des méthodes de l’examen ».

Voici LES DIX « PROBLÉMATIQUES » :

Brochure n°150 : « EN RÉFÉRENCE PRIVILÉGIÉE À DES CONTENUS ».
1. Repérage (40 pages).
2. Étude de certaines configurations planes et spatiales. Représentations et mesures associées (46 pages).
3. Dynamique des points, des figures et des nombres (38 pages).
4. Mesure de grandeurs. Précision, approximation, incertitude (44 pages).
5. Traitement et représentation de données statistiques (36 pages).

Brochure n°154 : « EN RÉFÉRENCE PRIVILÉGIÉE À DES OBJECTIFS MÉTHODOLOGIQUES ».
6. Techniques algorithmiques (38 pages).
7. Changements de cadres et de registres (32 pages).
8. Formation au recueil, au traitement, à la consultation et à la communication de l’information (32 pages).
9. Construction ou choix opportun et optimal des modèles, des outils et des méthodes dans des situations sous contrainte (36 pages).
10. Conjectures, preuves, réfutations et validations (26 pages).

CHAQUE PROBLÉMATIQUE :
– s’ouvre sur des considérations générales (excellentes !) ;
– continue sur un tableau à trois colonnes (parfois deux) mettant en parallèle sur environ une page : situations, démarches, contenus ;
– puis propose de nombreuses et variées « situations-problèmes » dûment éclairées, commentées, … avec des mises en évidence d’objectifs, des variantes, des conseils, … ;
– enfin se clôt par quelques « situations didactiques développées » et « comptes rendus d’expériences » qui, très étudiés, sont de vrais bijoux.

Chaque énoncé est référé à un niveau déterminé (par exemple : seconde, première S, première S-TS, … avec, s’il y a lieu, la mention « option sciences » – cf. demandes de l’APMEP –).

Dans sa Préface, Jean-Pierre KAHANE note le caractère stimulant des problèmes (… « même pour les professeurs ») : « on trouvera, dit-il, d’excellents problèmes d’arithmétique et de géométrie, des exercices de mise en route pour des notions de calcul, d’estimations, de probabilités et de statistiques, des textes écrits en utilisant les symboles mathématiques et d’autres en langue naturelle, des articles de journaux ou de publicités à critiquer, et bien d’autres choses intéressantes et savoureuses… ».

J’ai, pour ma part, beaucoup aimé les habillages donnant un sens dynamique à des situations classiques, les ouvertures sur l’environnement (taux d’alcoolémie, groupes sanguins et … recherches de paternité, stratégies d’épargne, modalités de paiements, …), les liens avec la physique (solides études relatives à la réfraction, …), les rappels éventuels de « vieilles » constructions (tangentes communes à deux cercles sans utiliser l’homothétie), … et la valorisation constante de méthodes essentielles.

Voici un micro-florilège d’énoncés parmi les plus courts (parfois abrégés) :

Problème 3 de la problématique (classe de seconde) :
Retrouver, dans le cadre ci-contre, un repère orthonormé dans lequel la droite D a pour équation $3x + y − 4 = 0.$

Problème 4 de la problématique 2 (seconde option sciences) :
Soit un angle de mesure $\widehat{xOy} $ de mesure $\alpha$ et une tige en forme d’arc de cercle. Construire un cercle tel que $\alpha$ y soit inscrit et intercepte l’arc donné.

Problème 2 de la problématique 3 (seconde) :
Construire un triangle ABC dont les médianes issues de B et de C sont perpendiculaires. Exprimer $AB^2 + AC^2$ en fonction de BC.

Problème 15 de la problématique 3 (première) (on appréciera beaucoup la page de commentaire qui suit !) :

1) Le triangle ABC étant donné, on a construit :
le carré $BCC_1B_1$ à l’extérieur de ce triangle,
la droite $d_b$ passant par B et perpendiculaire à $(AC_1)$,
la droite $d_c$ passant par C et perpendiculaire à $(AB_1)$.
Le point I est le point d’intersection des droites $d_b$ et $d_c$. La droite (AI) semble perpendiculaire à la droite (BC). Qu’en est-il vraiment ?

2) Le triangle ABC étant donné, on a construit, à l’extérieur de ce triangle, les triangles rectangles isocèles ABD et ACF. Le point I est le point d’intersection des droites (CD) et (BF).
Même question qu’en 1)

Problème 4 de la problématique 10 (seconde option sciences) :
Cinq points sont choisis au hasard dans le plan repéré et tels que toutes leurs coordonnées soient des entiers. Démontrer qu’il existe un segment d’extrémités deux de ces points et dont le milieu ait également des coordonnées entières. (jolie application, bien mise en évidence par le commentaire, de la parité et du principe des tiroirs…)

Problème 6 de la problématique 10 (terminale) :
D’un tonneau de 228 l de muscadet, je retire chaque jour un litre que je bois et que je remplace subrepticement par un litre d’eau. À partir de quel jour bois-je plus d’eau que de vin ?

Problème 7 de la problématique 10 (option sciences) :
– énoncé abrégé – Peut-on trouver deux entiers n et p tels que $1! + 2! + 3! + … + n! = p^2$ .

Problème 19 de la problématique 10 (option sciences) :
Que dire de deux entiers naturels dont la différence est un nombre premier ?

Problème 2 de la problématique 4 (toutes classes) :
Dans une classe de 27 élèves, Mouloud a été élu délégué avec 66,7 % de voix (arrondi à $10^{− 1}$ près).
1) Le compte rendu écrit 77,6 %. Le professeur remarque qu’il y a certainement une erreur. Pourquoi ?
2) Combien de voix Mouloud a-t-il obtenu ?

Problème 29 de la problématique 4 :
Je rembourse un emprunt de 50 000 € , en 25 mois, à raison de 2448 € par mois. […].
Quel est le taux du prêt ?
[Le commentaire, admirable, montre qu’il faudrait résoudre une équation de degré 25, et que, sans calculatrice, on utilisera des approximations de $(1 + r)^24$ , r étant le taux mensuel. L’ordre 1, soit $(1 + r)^24 ≈ 1 + 24r$, conduit à un taux annuel de 8,8 %, mais l’ordre 2, soit (1 + r)^24 ≈1+24r+\frac24\times 232r^2$ , conduit à 15,06 %…]

Ce micro-florilège qui, de surcroît, oublie la dernière partie, richement développée, de chaque problématique (cf. ci-dessus, leur plan) devrait montrer que cet ouvrage devrait déjà, par ses problèmes, leur mise en situation, leurs commentaires, susciter l’intérêt de tous les enseignants de lycée (et même de ceux du collège !).

Il le doit plus encore par son point de vue fondamental : l’insertion dans des classes de problèmes. Elle invite à un regard, à la fois neuf et plus approfondi sur les programmes, et donne un sens plus fort aux activités proposées : le paysage mathématique en est transformé, plus intelligible, plus séduisant, plus prégnant.

Ce qui n’enferme pas pour autant chaque problématique dans un monde isolé. Les liens entre elles sont multiples et dûment signalés.

Voilà donc, en ses deux tomes, plus que bienvenu avec l’évolution attendue pour le bac, un ouvrage fondamental : « un appel à l’air du large, en même temps qu’un bon instrument pour le pilotage de la classe » – dit J.-P. Kahane, qui ajoute : « Une fois de plus, l’APMEP témoigne de son importance pour la bonne marche et l’avenir de notre enseignement mathématique » –.

Que nos cinq auteurs et le maquettiste Jean Barbier en soient chaleureusement félicités, remerciés et que nous en profitions sans tarder … !

… De quoi acheter les deux tomes au plus vite

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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