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  APMEP   Les problèmes du BV 497

Article du bulletin 497

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et solution des 489-2, 489-4

Hochart Max

- 29 novembre 2014 -

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 497 - 1 (Fernand Canonico)

Caractériser (par exemple par leurs valuations p-adiques) les entiers pouvant s’écrire $2a^2 + 3b^2$ avec $a, b \in \mathbb N$ .

voir l’article où est publiée la solution

Problème 497 - 2 (Pascale De Jonghe)

Soit $(u_n)_{n\in \mathbb N}$ une suite complexe et R un réel, R > 1. On suppose que la suite $ (Ru_{n+1}-u_n)_{n \in \mathbb N}$ converge vers $ l \in \mathbb C$ quand n tend vers $+\infty$. Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\in \mathbb N}$.

voir l’article où est publiée la solution

Problème 497 - 3 (Georges Lion)

Quel est le lieu géométrique des points M intérieurs à un parallélogramme ABCD et tels que les angles AMB et DMC soient supplémentaires ?

voir l’article où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 489-2 (Question de Fernand Canonico)

Soit n un entier strictement positif. Pour $({u}_1, ..., {u}_n) \in \mathbb N^n$ on note

$$\varphi (u_1, ..., u_n) = (|u_2 - u_1|, |u_3 - u_2|, ..., |u_n - u_{n-1}|, |u_1 - u_n|). $$

Pour quelles valeurs de n une des itérées de $\varphi$ est l’application nulle ?

Commentaires – L’énoncé est maladroit (mea culpa). Il s’agit de savoir si pour tout n-uplet $(u_1,..., u_n)$ de $ \mathbb N^n$ , il existe un entier k tel que $\varphi^k (u) = 0$. Contrairement à ce que peut laisser entendre l’énoncé, l’entier k dépend de u. Par la suite, on qualifiera de « localement nilpotente » une application $\varphi : \mathbb N^n \rightarrow \mathbb N^n$ vérifiant la propriété suivante :
pour tout $u \in \mathbb N^n$ , il existe un entier k (dépendant de u) tel que $\varphi^k(u)=0.$

Solution de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

Problème 489-4 (Question de Michel Lafond)

Le système

a + b + c = 6 et abc = 9

a-t-il des solutions dans $\mathbb{R_+}$ ? Dans $\mathbb{Q_+}$ ? Dans $\mathbb{R}$ ? Dans $\mathbb{Q}$ ?

Solutions de Raymond Heitz (Ploufragan), Michel Lafond (Dijon), Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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