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  APMEP   Problèmes d’antan 6 (Première partie)

Article du bulletin 485

Michel Fréchet

En feuilletant les anciens bulletins de notre association, on trouve des sujets d’exercices et de problèmes. Nous publierons dans chaque Bulletin Vert des exemples de ces exercices d’antan.

Envoyez vos propositions de solutions à frechetm.apmep@wanadoo.fr. Les meilleurs seront publiées.

Le problème « antan 6 » étant suffisamment riche, et comme aucune réponse ne m’est parvenue, je ne donnerai que ma solution pour la première question. Nous attendons vos solutions pour les deux autres questions.

Agrégation des sciences mathématiques des jeunes filles : Arithmétique, Algèbre et Géométrie (4 heures)

On considère quatre points A, B C et D d’une circonférence de centre O.

  1. Comparer au quadrilatère ABCD le quadrilatère dont les sommets sont les points de rencontre des hauteurs des triangles BCD, CDA, DAB et ABC.
  2. Démontrer que les projections orthogonales du point A sur les côtés du triangle BCD sont sur une droite (a), et que cette droite (a) est parallèle à la droite joignant B au second point où la perpendiculaire menée de A à CD coupe la circonférence O.
    Démontrer en outre que la droite (a) et les droites analogues (b), (c) et (d) passant par les projections de B, C et D sur les côtés des triangles CDA, DAB et ABC sont concourantes.
    Comparer le faisceau (a), (b), (c) et (d) au faisceau OA, OB, OC et OD.
  3. Étudier la figure formée par les centres des seize circonférences tangentes aux côtés de chacun des triangles BCD, CDA, DAB, ABC.

Télécharger la solution de la première question

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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