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  APMEP   Problèmes du BV 505

Article du bulletin 505

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et solutions des 497-3, 497-1,

Hochart Max

- 8 janvier 2015 -

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 505–1 (Michel Bataille (Rouen))
Montrer que si a, b, c sont des réels strictement positifs vérifiant abc = 1, alors

$$2+\frac{3}{a+b+c} \le \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} \le \frac{3}{4} + \frac{(a+b+c)^2}{4}$$

Problème 505–2 (Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques))
Après une soirée dans un pub, n lords récupèrent leurs chapeaux au vestiaire de façon aléatoire. À la sortie du pub, la fraîcheur de la nuit leur permet de retrouver un peu leurs esprits et ils décident de continuer la fête. Chaque lord pose ses mains sur les épaules de celui qui porte son chapeau. Se forment ainsi des chenilles fermées (où un lord portant son propre chapeau forme une chenille à lui tout seul). Calculer l’espérance et la variance du nombre de chenilles.

Problème 505–3 (Ghali Lalami (Marrakech))
Calculer

$$\int_0^{+\infty} \frac{1}{x} \left( \int_0^x \frac{\cos(x-y)-\cos(x)}{y}dy \right) dx$$

Problème 505–4
Soit $n \in \mathbb N$* . Soit K un compact de $\mathbb R^n$ connexe par arcs. Montrer que K ne peut pas s’écrire comme une réunion dénombrable disjointe de fermés (non triviale, c’est à dire autre que K = K). Ici, dénombrable signifie finie ou infinie dénombrable.

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 497 - 3 (Georges Lion)

Quel est le lieu géométrique des points M intérieurs à un parallélogramme ABCD et tels que les angles AMB et DMC soient supplémentaires ?

Réponses de Maurice Bauval (Versailles), Jean-Claude Carréga (Lyon), Bernard Collignon (Coursan), François Duc (Orange), Allain Perron (Clelles), Georges Lion (Wallis), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).

Problème 497 - 1 (Fernand Canonico)

Caractériser (par exemple par leurs valuations p-adiques) les entiers pouvant s’écrire $2a^2 + 3b^2$ avec $a, b \in \mathbb N$ .

Réponse de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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