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  APMEP   Problèmes du n°312 et 313

Article du bulletin 458

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et solution du problème n° 303

- 18 septembre 2016 -

Indications sur des énoncés déjà publiés

Énoncé n° 310 (entiers magiques) :
Que pourrait valoir $c$ pour $n = 7$ ?

Énoncé n° 311 (ex-voto japonais) :
Que peut-on dire de $ tan(\frac{\widehat{OA_iA_{i+1}}}{2}$) ?

Énoncés des nouveaux problèmes

Enoncé n° 312 (Pierre JULLIEN, 13-Meyreuil)
Soit dans le plan quatre points A, B, C et D tels que AB = CD (égalités de longueurs).
On note M le milieu de [AD] et N le milieu de [BC].
Montrer que la droite (MN) coupe les droites (AB) et (CD) sous le même angle.
voir le BV où est publiée la solution

Enoncé n° 313 (Michel BATAILLE, 76-Rouen) Dans le plan, soit $A_1 A_2 A_3$ un triangle de centre de gravité G. Pour $ i = 1, 2, 3$ , le cercle $(Γ_i)$ , de centre $O_i$ et de rayon $r_i$ , est tangent aux côtés passant par $A_i$ , les points de contact et G étant alignés. Démontrer la relation :

$$ \frac{r_1}{r_1 + GO_1}+ \frac{r_2}{r_2 +GO_2} +\frac{r_3}{r_3 +GO_3} =2 .$$


voir le BV où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Énoncé n° 303 (R. FERACHOGLOU et M. LAFOND, 21 - Dijon)
Soit (Q) un quadrilatère plan convexe, dont les sommets distincts A, B, C, D sont dans cet ordre et dans le sens direct. On joint A au milieu de [BC], B au milieu de [CD], C au milieu de [DA] et D au milieu de [AB]. Ces quatre droites déterminent un nouveau quadrilatère (q).
Démontrer que : $\frac{\mathrm{aire(Q)}}{\mathrm{aire(q)}}$ est compris entre 5 et 6 (6 exclu).

Solution à partir de celles proposées par François DUC (84–Orange), Christian DUFIS (87–Limoges), Christine FENOGLIO (69–Lyon) et René MANZONI (76–Le Havre)

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)
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