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  APMEP   Problèmes du BV 494

Article du bulletin 494

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et solutions des 487-2, 488-2

Hochart Max

- 2 juillet 2015 -

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 494–1

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $P \in \mathbb{Z}[X]$ tels que l’équation

$$|P(k)|=1$$

admette n racines distinctes dans $ \mathbb{Z}$. Montrer que

$$n-\text{deg(P)} \le 2$$

voir l’article où est publiée la solution

Problème 494–2 (Question de Jean-Christophe Laugier)

Démontrer, de manière combinatoire si possible, l’égalité suivante, valable pour tous les entiers n, k supérieurs ou égaux à 1 :

$$\sum_{\substack{u_1+u_2+...+u_k=n \\ u_1,u_2,...u_k \in \mathbb{N}^*}}^{n} u_1u_2...u_k=\binom{n+k-1}{2k-1}$$

Solutions de Jean-Claude Blanchard (Brunoy), Frédéric de Ligt (Montguyon), Jean-Christophe Laugier (Rochefort), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).

voir l’article où est publiée la solution

Problème 494-3 (Question de Moubinool Omarjee)

Pour t > 0, on définit

$$H(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!(n+1)!}$$

Montrer que

$$H(t) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi} \frac{e^{2\sqrt t}}{t^\frac{3}{4}}$$

voir l’article où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 487-2 (Question de Michel Lafond)

On définit la suite $u$ par $u_0 \in [0,1]$ et pour tout $n \in \mathbb N$, $u_{n+1} = 2 min(u_n, 1 − u_n)$.
Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N$,

$$u_n=\frac{1}{\pi}\arccos{\big ( \cos{(2^n \pi u_0)} \big ) }$$

Solutions de Jean-Claude Carréga (Lyon), Benoît David (Ferney-Voltaire), Franck Gautier (Pérignat lès Sarliève), Raymond Heitz (Lavergne), Michel Lafond (Dijon), Albert Marcourt (Sainte Savine), Joël Payen (Gagny), Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques), Odile Simon (La Prénessaye)

Quelques commentaires

Problème 488-2

Soit u la suite définie par $u_0$ = 1 et $u_{n+1}=4u_n+\sqrt{15 u_n^2+1}$ . Cette suite est-elle à valeurs entières ?

Solutions de Pierre Aymard (Albi), Jean-Claude Blanchard (Brunoy), Maurice Bauval (Versailles), Laurent Chéno (Lycée Dorian, Paris 11 e ), Marie-Laure Chaillout (Épinay sur Orge), Bernard Collignon (Lycée Diderot, Narbonne), Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg), Franck Gautier (Pérignat lès Sarliève), Raymond Heitz (Lavergne), Michel Lafond (Dijon), Jean Lefort (Wintzenheim), Georges Lion (Wallis), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Jean-Claude Renoult (Bergerac), Vincent Thill (Migennes), Éric Trotoux (Caen).

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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