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Article du bulletin 501

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et solutions du BV 493-3, 494-1 et 494-2

- 1er juillet 2014 -

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 501–1 (Franck Gautier, Pérignat lès Sarliève)

Montrer que le produit de huit entiers consécutifs non nuls ne peut être un carré parfait.

voir l’article où est publiée la solution

Problème 501–2 (Michel Lafond, Dijon)

Soit $c \in \mathbb{N}$ et K la suite définie par

$$K_0= 0, K_1= 1\ \text{ et pour } n \ge 2 \ \ K_n= (c - 2)K_{n-1}- K_{n-2}+ 2.$$

Montrer que si c est un carré parfait, alors tous les $K_n$ sont des carrés parfaits.

voir l’article où est publiée la solution

Problème 501–3

Soit p un nombre premier. Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , on note $a_n$ le nombre d’éléments d’ordre p du groupe symétrique $S_n$. Calculer la série entière

$$\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{a_n}{n!} x^n.$$

voir l’article où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 493–3 (Michel Lafond)

Pour un entier strictement positif n, on note $p_n$ la probabilité pour que, dans le système décimal, deux nombres entiers à n chiffres (dont l’écriture ne commence pas par 0), choisis indépendamment, au hasard, aient un produit ayant 2n chiffres.

Étudier $p_n$. En particulier, montrer que

$$p_n=\frac{10}{81}(9-ln(10) \pm 3\times10^{-n})$$

Télécharger la solution de Michel Lafond (Dijon)

Michel Lafond termine en donnant les premières valeurs (exactes et approchées) des $p_n$. Il conjecture également que, pour tout $n \in \mathbb{N}, p_n<\frac{10}{81}(9-ln(10))$

Problème 494–1

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $P \in \mathbb{Z}[X]$ tels que l’équation

$$|P(k)|=1$$

admette n racines distinctes dans $ \mathbb{Z}$. Montrer que

$$n-\text{deg(P)} \le 2$$

Solutions de Jean-Claude Blanchard (Brunoy), Jean-Claude Carréga (Lyon), Raymond Heitz (Piriac) et Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).

Télécharger la solution en pdf

Jean-Claude Blanchard, Raymond Heitz et Pierre Renfer ont proposé un tel polynôme (founissant un cas d’égalité). Ces polynômes correspondent aux cas r = 0 ou r = 1. Enfin, Raymond Heitz propose d’élargir la question à l’anneau $\mathbb{Z} [i]$ : pour $P \in \mathbb{Z} [i][X]$, si l’équation $|P(z)|=1$ admet n solutions dans $\mathbb{Z} [i]$, trouver une majoration de n − deg(P). Avis aux amateurs.

Problème 494–2 (Question de Jean-Christophe Laugier)

Démontrer, de manière combinatoire si possible, l’égalité suivante, valable pour tous les entiers n, k supérieurs ou égaux à 1 :

$$\sum_{\substack{u_1+u_2+...+u_k=n \\ u_1,u_2,...u_k \in \mathbb{N}^*}}^{n} u_1u_2...u_k=\binom{n+k-1}{2k-1}$$

Solutions de Jean-Claude Blanchard (Brunoy), Frédéric de Ligt (Montguyon), Jean-Christophe Laugier (Rochefort), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).

Télécharger la solution en pdf

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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