Accueil » Publications » Le Bulletin Vert » Les Problèmes de l’APMEP » Problèmes du BV 502
  APMEP   Problèmes du BV 502

Article du bulletin 502

Adhérer ou faire un don

et solutions des 493-2 et 496-2

Hochart Max

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 502–1 (Gauthier Gidel, Alexandre Benchaouine, Benoît Joly)
Soit $n \in \mathbb N$* , $x_1, …, x_n$ des réels strictement positifs et $p_1, …, p_n$ des réels strictement positifs de somme 1. Pour tous les réels S et t vérifiant, pour tout $i \in [[1, n]]$,

$$S \le \sqrt{x_i} \le S+t$$

montrer que

$$\frac{1}{\sum_\limits{i=1}^{n} \frac{p_i}{x_i} } \le \sum_\limits{i=1}^{n} p_i x_i \le \frac{1}{\sum_\limits{i=1}^{n} \frac{p_i}{x_i} } + t^2$$

voir l’article où est publiée la solution

Problème 502–2 (Michel Lafond (Dijon))
Soit p et q deux entiers premiers entre eux et impairs. Un damier rectangulaire $p \times q$ a ses cases colorées alternativement en noir et blanc, les quatre coins étant noirs. Une diagonale $\Delta$ est tracée. Une partie de $\Delta$ est noire, l’autre est blanche. Démontrer que la proportion de noir le long de D est égale à $\frac{1}{2} \left ( 1+ \frac{1}{pq} \right )$

voir l’article où est publiée la solution

Problème 502–3 (Jean-Claude Blanchard (Brunoy))
Pour $n \in \mathbb N$, calculer le pgcd de $2^n + 3^n$ et de $5^n$.

voir l’article où est publiée la solution

Problème 502–4 (G.L. Kocher, Ravières)
On suppose que le trinôme $ax^2 + bx + c$ possède deux racines réelles distinctes. En déduire les solutions de l’équation

$$a(ax^2+(b+1)x+c)^2+b(ax^2+(b+1)x+c)+c-x=0$$

voir l’article où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 493–2 (Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg))
Dans le plan euclidien, soit $\Gamma$ un cercle de centre O, et soit U et V deux points distincts, alignés avec le centre O. À partir d’un point A du cercle $\Gamma$, on trace la droite (AU) qui recoupe $\Gamma$ en un point B ; on trace la droite (BL) perpendiculaire à (UV) qui recoupe $\Gamma$ en un point C ; on trace la droite (CV) qui recoupe $\Gamma$ en un point $A_1$.
Puis l’on recommence : on trace la droite ($A_1$ U) qui recoupe $\Gamma$ en un point $B_1$ ; on trace ($B_1L_1$) perpendiculaire à (UV) qui recoupe $\Gamma$ en un point $C_1$  ; on trace ($C_1$V), etc. Est-il possible que la ligne polygonale $ABCA_1B_1C_1A_2B_2C_2$… se referme en un point $A_n$ pour un entier naturel n ? Autrement dit, existe t-il n $\in \mathbb N$ tel que $A_n$ soit confondu avec A ?

Solutions de Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg), Georges Lion (Wallis), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

Le problème de Castillon a été généralisé au début du 19e siècle de trois manières : en remplaçant le cercle par une conique quelconque, en demandant d’inscrire un polygone d’un nombre N de côtés passant par N points donnés, en posant le problème dual, c’est-à-dire : circonscrire un polygone de N côtés à une conique, dont les sommets soient situés sur N droites données. Ce qui fait que ce problème est alors représentatif des méthodes de la géométrie projective naissante. Sa solution moderne repose sur la détermination des points fixes d’une homographie. »

Problème 496-2
Pour $n \in \mathbb N$ et $k \in [ 0, {n} ]$, on note $\binom{n}{k}$ le coefficient binomial $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Pour tout nombre premier p, établir les relations suivantes :
1. $\binom{p-1}{k} \equiv (-1)^k \mod p$ pour tout entier $k \in$ $[[0, p - 1]]$ ;
2. $\binom{p+1}{k} \equiv 0 \mod p$ pour tout entier $k \in$ $[[2, p - 1]]$ ;
3. $\binom{2p}{p} \equiv 2 \mod p$ ;
4. $\binom{pa}{pb} \equiv \binom{a}{b} \mod p$ pour $a, b \in \mathbb N$ avec a ≥ b.

Solutions de Jean-Claude Carréga (Strasbourg), Bernard Collignon (Coursan), François Couloigner (Tarbes), Paul Péchoux, Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
 Accueil   Plan du site   Haut de la page   Page précédente