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  APMEP   Problèmes du BV 503

Article du bulletin 503

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et solutions des 495-2 et 496-3

Hochart Max

- 7 janvier 2015 -

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 503–1 (Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg))
Démontrer les formules trigonométriques suivantes et en proposer d’autres :

$$ \tan\left( \frac{3 \pi}{7}\right) - 4\sin\left( \frac{\pi}{7}\right)=\sqrt 7;$$

$$ \tan\left( \frac{3 \pi}{11}\right) + 4\sin\left( \frac{2 \pi}{11}\right)=\sqrt 11;$$

$$ \tan\left( \frac{5 \pi}{19}\right) + 4\sin\left( \frac{2 \pi}{19}\right)- 4\sin\left( \frac{3 \pi}{19}\right)+ 4\sin\left( \frac{8 \pi}{19}\right)=\sqrt 19;$$

voir l’article où est publiée une solution

Problème 503–2 (Ghali Lalami (Marrakech))
On fixe un entier naturel m ≥ 2. Montrer que l’on peut trouver des entiers relatifs $n_1, …, n_{m-1}$ tels que

$$\arctan(m)=\sum_\limits{k=1}^{m-1} n_k \arctan (k)$$

si et seulement si les facteurs premiers de $m^2 + 1$ sont plus petits que 2m.

voir l’article où est publiée une solution

Problème 503–3
On considère un entier $n \in \mathbb N$* , un nombre premier p ≥ 3 et un sous-groupe fini G du groupe $GL_n(\mathbb Z)$ des matrices inversibles de taille n à coefficients entiers. Enfin, $\mathbb F_p$ est le corps $\mathbb Z/p \mathbb Z$ . Montrer que l’application naturelle $\left\{ \begin{array}{l} G \rightarrow GL_n(\mathbb F_p) \\ A \mapsto A \mod p \end{array} \right.$ est injective.

voir l’article où est publiée une solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 495-2
Calculer le déterminant de la matrice $A(i⋁j)_{1\le i,j\le n}$ où, pour deux entiers naturels i, j, le symbole ij désigne le ppcm de i et j.

Réponses de Raymond Heitz (Piriac) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques)

Problème 496–3

Trouver toutes les fonctions $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ continues telles que, pour tout réel x,

$$f(f(x))+x=2f(x)$$

Réponses de Jean-Claude Blanchard (Brunoy), Marie-Laure Chaillout (Épinay sur Orge), Bernard Collignon (Coursan), François Couloigner (Tarbes), François Coulombeau (Riom), Raymond Heitz (Piriac), Paul Péchoux (Valdoie), Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques).

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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