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  APMEP   Problèmes du BV 504

Article du bulletin 504

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et solutions des 495-3, 496-1 et 497-2

Hochart Max

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 504–1 (Moubinool Omarjee (Lycée Henri IV Paris))
On note $ \lfloor \ \ \ \rfloor$ la fonction partie entière et, pour $n \in \mathbb N$*, $p_n$ est le n-ième nombre premier. Étudier la nature de la série

$$\sum_\limits{n \ge 1} \frac{(-1)^{\lfloor n \sqrt 2 \rfloor}}{p_n}$$

Problème 504–2 (Ghali Lalami (Marrakech))
Trouver tous les $n \in \mathbb N$ tels que $3^n - 2$ soit un carré parfait.

Problème 504–3 (Franck Gautier (Pérignat Lès Sarlieves))
On désigne par D = B(0, 1) le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 du plan. Pour un chemin $ \Phi : \left\{ \begin{array}{l} [0,1] \rightarrow D \\ t \mapsto (x(t),y(t)) \end{array} \right.$ de classe $C^1$ , on définit l’énergie de $\Phi$ par

$$E(\Phi)= \int_0^1 \frac{x'(t)^2+y'(t)^2}{\left( 1-x(t)^2-y(t)^2 \right) ^2} dt$$

Déterminer l’ensemble des chemins reliant le centre 0 à un point $ M_0 \in D$ qui minimisent cette énergie.

Problème 504–4 (Michel Lafond (Dijon))
On définit la suite u par la condition initiale $u_0= 3$ et pour $n \in \mathbb N$, par la relation $u_{n+1}=u_n+ \sin(u_n)$. Montrer que $u_3$ est une approximation par défaut de $\pi$ à $10^{-33}$.

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 495-3 (Michel Lafond)
Un entier strictement positif n est pythagoricien si dans l’anneau $\mathbb Z /n \mathbb Z$ des entiers modulo n, tout élément est somme de deux carrés. Quels sont les entiers pythagoriciens ?

Réponses de Michel Lafond (Dijon) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques).

Problème 496-1 (Michel Lafond)
Un triangle a un périmètre p et une aire $\mathcal A$. Montrer que chaque côté du triangle mesure au plus

$$\frac{p}{6} \left( 1+2 \cos \left( \frac{1}{3} \arccos \left( 1 - \frac{864 \mathcal A ^2}{p^4} \right) \right) \right)$$

Réponses de Maurice Bauval (Versailles), Jean-Claude Carréga (Lyon), François Couloigner (Tarbes) et Michel Lafond (Dijon).

Problème 497 - 2 (Pascale De Jonghe)
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb N}$ une suite complexe et R un réel, R > 1. On suppose que la suite $ (Ru_{n+1}-u_n)_{n \in \mathbb N}$ converge vers $ l \in \mathbb C$ quand n tend vers $+\infty$. Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\in \mathbb N}$.

Réponses de Raymond Heitz (Piriac), Pascale De Jonghe (Clermont-Ferrand) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques).

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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