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  APMEP   Les roblèmes du BV 492

Article du bulletin 492

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et solution du 486-3

- 28 novembre 2011 -

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 492-1
Trouver tous les polynômes complexes P tels que si |z|=1 alors |P(z)|=1.

voir l’article où est publiée la solution

Problème 492 - 2 (Question de Michel Lafond)
Soit P et Q deux polynômes réels du second degré. On suppose que les suites $(P(n))_{n\in \mathbb N*}$ et $(Q(n))_{n\in \mathbb N*}$ sont strictement croissantes et sans terme commun. On intercale ces deux suites pour obtenir la suite

$$u=(1,2,8,10,18,25,32,46....)$$

  1. Calculer $u_{1000}$.
  2. Donner un équivalent quand n tend vers +∞ de $u_n$.

voir l’article où est publiée la solution

Problème 492 - 3
Une droite $\Delta$ coupe un triangle ABC et le partage en deux polygones de même aire et même périmètre. Montrer que la droite passe par le centre du cercle inscrit au triangle ABC.

voir l’article où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 486-3 (Question de Roger Cuculière)
Trouver tous les couples (E, f ) où E est un voisinage de 0 dans $\mathbb R$, et f est une fonction définie sur E, non constante, continue en 0, à valeurs réelles, et telle que, si

$$x, y \in E \text{ verifient } f (x) f (y) \ne 1, \text {alors }x+y\in E \text{ et }f(x+y)={{f(x)+f(y)} \over {1-f(x)f(y)}}$$

Solution de Roger Cuculière (Clichy La Garenne)

Commentaires. Roger Cuculière précise que cet énoncé lui a été communiqué en 2005 par Jean-Paul Petit, alors professeur en classe de Mathématiques Supérieures au lycée Malherbe de Caen. Lui même avait eu à traiter ce problème en 1966, quand il était élève de M. Gounon, en Mathématiques Supérieures, au lycée Faidherbe de Lille.

Autres réponses. Pour ce problème, me sont parvenues deux autres réponses, celle de Marie-Laure Chaillout (Épinay sur Orge) et celle de Pierre Renfer (Saint George d’Orques).

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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