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  APMEP   Quelques remarques sur les « répuns »

Article du bulletin 464

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- 16 mars 2016 -

Richard Choulet

Résumé de l’article

Un répun (repunit en anglais) étant défini comme un nombre formé par une succession de "1", l’auteur étudie quelques unes de ses propriétés particulières. Il donne la décomposition en nombres premiers des repuns jusqu’à l’ordre 23. Il étudie le "coeur (de période 9) des carrés des repuns". Il montre qu’un repun ne peut être une puissance d’entier avec un exposant plus grand que 1, il donne les fonctions génératrices de repuns et d’autres propriétés pas toujours évidentes. On peut trouver de nombreuses autres propriétés des "repunits" sur internet.

Introduction

Je lis dans l’accompagnement des programmes de S [1] en préambule à un exercice :
« Les nombres 1, 11, 111, 1 111, etc. sont des nombres que l’on appelle rep-units (répétition de l’unité). Ils ne s’écrivent qu’avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de nombreuses propriétés qui passionnent des mathématiciens ». Ensuite on fait trouver quelques résultats plus ou moins évidents (jamais pour l’élève) en quatre questions.

Ce néologisme de rep-unit copié de l’anglais où d’ailleurs le trait d’union n’est pas écrit, n’a pas de raison d’être en français.
J’ai trouvé dans un livre le mot de « repunité » ; je ne trouve pas cela non plus des plus heureux vu la prononciation de « re » qui n’est pas « ré ». À la rigueur répunité aurait pu faire l’affaire mais en toute impunité, ce n’est pas facile à digérer.

Je propose de reprendre les choses à la base c’est-à-dire répétition du « un » en dénommant répun un tel nombre (les esprits chagrins refuseront leur répun quotidien).

Ainsi le répun d’ordre n est le nombre $R_n=\underbrace{1....1}_{n}$

Déjà à voir le nombre de sites de l’internet qui les abordent, on se doute que ces nombres ne doivent pas être si ridicules. Par ailleurs certaines propriétés (dont l’une figure – dans un cas simple – dans les commentaires évoqués) sont loin d’être évidentes en général.

Plan de l’article

  • Y a t-il des répuns puissances d’entiers ?
  • Quelques constatations sur la décomposition en nombres premiers
  • Quelques relations entre répuns
  • Où j’élève les répuns au carré
  • Répuns, relation fonctionnelle et structure
  • Fonctions génératrices de répuns
  • Conclusion

Télécharger l’article en pdf dans son intégralité

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] Collection Lycée – Série Accompagnement des programmes – Mathématiques baccalauréat séries S et ES – Ministère de la Jeunesse, de l’Éducation nationale et de la Recherche – Direction de l’enseignement scolaire – Session 2004 – Centre national de documentation pédagogique.


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