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Article du bulletin 517

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Quelques démonstrations mathématiques particulièrement élégantes

Marc Roux

- 1er mars 2016 -

par Martin Aigner et Günter M. Ziegler.

Traduction : Nicolas Puech. Illustrations : Karl H. Hofman.

3ème édition Springer-Verlag France, repris par Lavoisier, 2013.

310 pages en 17 x24. Prix : 55 €.

ISBN : 978-2-8178-0399-9.

La première édition a été recensée par Paul- Louis Hennequin dans le BV 441

Celle-ci, traduction de la quatrième édition anglaise, tient compte des remarques des lecteurs des précédentes , et s’est enrichie de plusieurs nouveaux chapitres, tout en restant divisée en les mêmes cinq parties : Théorie des nombres, Géométrie, Analyse, Combinatoire, Théorie des graphes.

Aux remarques, toutes pertinentes, de P.-L. Hennequin, j’ajouterai celles-ci :
Le centre d’intérêt principal des auteurs ne réside pas dans les résultats démontrés, mais dans le côté astucieux, de trouvaille géniale, des démonstrations ; ce qui fait se demander « mais où est-ce qu’il vont chercher tout ça ? » ; le détour souvent inattendu par un ou plusieurs domaines mathématiques, a priori extérieurs au problème traité. Par exemple, l’une des six démonstrations de l’infinité de la suite des nombres premiers utilise une topologie de Z très particulière ; de nombreuses questions parfaitement déterministes sont traitées par la méthode probabiliste, chère à Erdös.

Les notions utilisées dans les preuves n’appartiennent pas seulement aux cinq domaines cités : interviennent aussi topologie, théorie des groupes, etc.

La hiérarchie par importance des résultats est bousculée : ainsi le théorème fondamental de l’algèbre est « expédié » en trois pages et une démonstration classique, alors que pour apprendre à « Mélanger un jeu de cartes », il ne faut pas moins de douze pages. Les auteurs des démonstrations sont toujours indiqués, ce qui donne une dimension historique à l’ouvrage. Mais cet ouvrage est surtout un hymne au plaisir de raisonner.

Comme défauts minimes, je citerai la propension des auteurs à donner aux mots « évident  » et « élémentaire » un sens quelque peu extensif... Et une erreur (page 196, ligne 17 ; erreur compensée à la ligne suivante).

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