Ministère de l’éducation – Mars 2012, 70 pages

Brochure à télécharger à l’adresse : eduscol.education.fr/prog

Réalisé par une équipe d’enseignants, non nommés, à partir de sources où les publications de l’APMEP et les IREM figurent en bonne place, le document rappelle pour commencer les neuf problématiques du programme :

• prendre en compte les acquis des élèves,
• intégrer les outils logiciels,
• travailler par compétences,
• utiliser des évaluations diagnostiques,
• favoriser la diversité de l’activité mathématique,
• faire vivre l’algorithmique, la logique et le raisonnement,
• aider les élèves à analyser leurs erreurs et à les rendre autonomes et critiques face à leurs résultats,
• varier les évaluations, diagnostiques, formatives et sommatives.

Les propositions d’activités sont réparties en cinq rubriques.

Pour chacune, sont indiqués en préalable : la ou les séries concernées, les problématiques abordées, des extraits de programmes officiels, les objectifs pédagogiques, les compétences, les connaissances requises, les logiciels utilisés, les modalités de gestion de classe, le scénario pédagogique.

Des productions d’élèves variées sont reproduites. La plupart des activités ont un point de départ concret ou pseudo-concret, et un aspect interdisciplinaire (vie courante, démographie, économie, biologie, écologie, …).

Toutes mettent en avant l’activité et l’autonomie de l’élève, ainsi que l’usage raisonné d’un logiciel : tableur, GeoGebra, Xcas, et/ou de la calculatrice.

L’algorithmique intervient dans quelques-unes. Les parties à traiter en classe entière sont nettement distinguées de celles visant l’accompagnement personnalisé. Sont aussi donnés des énoncés d’évaluations.

1. Second degré.

Quatre activités sont présentées : recherche d’extremums d’aires, modélisation de données statistiques, recherche du lieu du sommet d’une parabole dépendant d’un paramètre, étude de la trajectoire d’un ballon.

Pour la première, le scénario est original : il repose sur l’examen de copies d’élèves d’une année précédente, qu’il s’agit d’analyser, critiquer, compléter, prolonger ; façon astucieuse de guider l’élève en douceur, sans questions trop fermées et standardisées. À noter dans l’évaluation finale, la question de synthèse : « énoncer différentes méthodes permettant de déterminer les coordonnées du sommet d’une parabole quelconque ».

Dans la deuxième, on utilise la fonctionnalité « courbe de tendance » du tableur, sans justification théorique.

La troisième, purement mathématique, est réservée à la série S.

La dernière, réservée à l’accompagnement personnalisé, est déclinée en trois versions, pour trois groupes de niveau issus d’une évaluation diagnostique.

2. Dérivation.

Ici on trouve trois activités.

La première, « Lien entre coefficient directeur et pente d’une droite », est un préliminaire, elle aurait toute sa place en classe de seconde.

Les exemples de fiches-méthode et de synthèses rédigées par des élèves sont bienvenus.

L’« Introduction à la dérivation en utilisant un T.B.I.  », dans sa première partie, revient aussi sur le programme de seconde, révision utile comme l’attestent les taux de réussite.

Puis la notion de tangente à une courbe est introduite, sur un support contestable car le terril parabolique nous semble contredire à la fois les lois physiques de l’étalement des matériaux et ce que l’on peut constater de visu aux environs d’Alès ; de plus le passage de l’idée intuitive (droite qui «  frôle ») à la définition comme limite de la sécante est traité de façon expéditive, alors que c’est un point d’achoppement. Et l’évaluation finale, réduite à un QCM, nous semble insuffisante.

La deuxième «  Introduction à la dérivation  » nous paraît mieux conçue, alliant le classicisme de l’exemple de la vitesse à la modernité de l’utilisation du calcul formel et de l’algorithmique ; avec cependant une réserve quant à l’aspect «  boîte noire  » de la commande «  limite  » dans un logiciel.

3. Pourcentages

Destinée aux élèves des séries ES et L, cette rubrique ayant pour objet de réactiver les connaissances sur un objet difficile et d’amener les élèves à une attitude critique vis-à-vis des informations chiffrées présente deux items :

• le premier s’articule autour du grand nombre de variables qui figurent dans un bulletin de salaire, la principale difficulté étant de lire et d’analyser le texte pour y rechercher les informations pertinentes et les acquérir dans le bon ordre ;
• le second (extrait d’un sujet de CRPE) analyse à travers des questions classiques le calcul de l’impôt sur le revenu et les conclusions fallacieuses d’un raisonnement classique trop rapide.

4. Suites

La rubrique Suites en comporte quatre :

• Le premier, Modes de génération d’une suite, présente deux exemples, issus de l’économie, de séries chronologiques : l’évolution en vingt ans du prix de l’essence, et celle en un an du coût pour un grossiste d’une botte de roses. Il propose aux élèves de construire des représentations plus ou moins lissées et d’en déduire des conclusions.
  En ce qui concerne le premier, il faudrait préciser de quelle essence il s’agit, d’autant plus que le document historique concerne le prix mondial du pétrole brut.
• Le deuxième propose d’observer la suite obtenue à partir d’un nombre entier compris entre 1 et 99, en le remplaçant par la somme des carrés de ses chiffres, puis en itérant le processus ; il est proposé d’écrire l’algorithme correspondant et de conclure.
• Le troisième est issu de la biologie et modélise la multiplication des cellules cancéreuses à partir du temps de dédoublement d’une tumeur dans divers organes.
• Le quatrième se penche sur l’évolution en dix ans de la population de pies bavardes dans une petite île et propose d’abord un modèle de décroissance exponentielle, qui conduit à l’extinction.
  Un second modèle prévoit l’installation d’un nombre a d’oiseaux chaque année ; on propose un algorithme pour le cas a = 5, puis on pose la question du nombre minimum d’oiseaux à installer chaque année pour retrouver la population initiale

5. Accompagnement personnalisé

Cette dernière rubrique propose aux élèves de la série S de travailler de façon ludique tout au long de l’année sur des fiches présentant un problème court et ouvert à résoudre individuellement ou en groupe. Les fiches sont de quatre couleurs suivant leur difficulté, d’accessible pour tous à très difficile.

L’utilisation de l’informatique est souvent nécessaire, mais pas toujours.

Le document ne précise ni le volume de fichiers disponibles ni un site où on pourrait en trouver ; les huit exemples donnés ne sont pas aussi simples que pourrait le laisser penser leur couleur, et certains se rattachent plutôt à l’arithmétique qu’à l’analyse.

En conclusion, ce document, qui ne se limite pas à l’analyse, offre des ressources variées et des pistes d’investigation suivant des techniques diverses laissant une large place aux initiatives des élèves et leur permettant d’évaluer leurs démarches. La difficulté des tâches demandées ne dépasse jamais à notre avis un niveau raisonnable.

Il apportera une aide très précieuse à tous les professeurs qui cherchent des idées pour renouveler en profondeur l’enseignement dans une classe charnière.